\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum9.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.182~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)$$ $$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\sinh^{-1}\frac{x}{a}$$ <<*>>= )spool schaum9.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(sqrt(x^2+a^2)),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (1) - log(\|x + a - x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (2) log(\|x + a + x) --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x + a + x) - log(\|x + a - x) --R Type: Expression Integer --E --S 4 14:182 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 --R (4) - log(a ) --R Type: Expression Integer --E @ This is equal to $-\log(a^2)$ but Axiom cannot prove it. \section{\cite{1}:14.183~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\sqrt{x^2+a^2}$$ <<*>>= )clear all --S 5 aa:=integrate(x/(sqrt(x^2+a^2)),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R - x\|x + a + x + a --R (1) ----------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 6 bb:=sqrt(x^2+a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (2) \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 7 14:183 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.184~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}}= \frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(x^2/sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 4 | 2 2 --R (2a x\|x + a - 2a x - a )log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (- 2x - a x)\|x + a + 2x + 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 4x\|x + a - 4x - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=(x*sqrt(x^2+a^2))/2-a^2/2*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x + a + x) + x\|x + a --R (2) ------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R a log(\|x + a + x) + a log(\|x + a - x) --R (3) --------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 11 logmul1:=rule(c*log(a)+c*log(b) == c*log(a*b)) --R --I (4) c log(b) + c log(a) + %K == c log(a b) + %K --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 12 14:184 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logmul1 cc --R --R 2 2 --R a log(a ) --R (5) --------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.185~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3~dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{\sqrt{x^2+a^2}}}= \frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{3}-a^2\sqrt{x^2+a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 13 aa:=integrate(x^3/sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x + 5a x + 6a x)\|x + a + 4x - 3a x - 9a x - 2a --R (1) ------------------------------------------------------------ --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x + 3a )\|x + a - 12x - 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 14 bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(x^2+a^2) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 --R (x - 2a )\|x + a --R (2) -------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 15 14:185 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.186~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2+a^2}}}= -\frac{1}{a}\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 16 aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^2+a^2)),x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) --R (1) --------------------------------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 17 bb:=-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a --R log(--------------) --R x --R (2) - ------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 18 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R +-------+ +-------+ | 2 2 --R | 2 2 | 2 2 \|x + a + a --R - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) + log(--------------) --R x --R ------------------------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 19 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R log(\|x + a + a) - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) --R + --R - log(x) --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 20 14:186 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.187~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}}= -\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a^2x} $$ <<*>>= )clear all --S 21 aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(x^2+a^2)),x) --R --R --R 1 --R (1) - ---------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 --R x\|x + a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 22 bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(a^2*x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a --R (2) - ---------- --R 2 --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 23 14:187 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 1 --R (3) - -- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.188~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^3\sqrt{x^2+a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3\sqrt{x^2+a^2}}}= -\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{2a^2x^2}+\frac{1}{2a^3} \ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 24 aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(x^2+a^2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 4 2 2 | 2 2 --R (2x \|x + a - 2x - a x )log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 4 2 2 | 2 2 --R (- 2x \|x + a + 2x + a x )log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 3 3 --R (2a x + a )\|x + a - 2a x - 2a x --R / --R +-------+ --R 3 3 | 2 2 3 4 5 2 --R 4a x \|x + a - 4a x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 25 bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^3)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R 2 \|x + a + a | 2 2 --R x log(--------------) - a\|x + a --R x --R (2) ----------------------------------- --R 3 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 26 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R +-------+ +-------+ | 2 2 --R | 2 2 | 2 2 \|x + a + a --R log(\|x + a - x + a) - log(\|x + a - x - a) - log(--------------) --R x --R ----------------------------------------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 27 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R - log(\|x + a + a) + log(\|x + a - x + a) - log(\|x + a - x - a) --R + --R log(x) --R / --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 28 14:188 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) -------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.189~~~~~$\displaystyle\int{\sqrt{x^2+a^2}}~dx$} $$\int{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 29 aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 4 | 2 2 --R (- 2a x\|x + a + 2a x + a )log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (- 2x - a x)\|x + a + 2x + 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 4x\|x + a - 4x - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 30 bb:=(x*sqrt(x^2+a^2))/2+a^2/2*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 | 2 2 --R a log(\|x + a + x) + x\|x + a --R (2) ----------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 31 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x + a + x) - a log(\|x + a - x) --R (3) ----------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 32 14:189 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 2 --R a log(a ) --R (4) - --------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.190~~~~~$\displaystyle\int{x\sqrt{x^2+a^2}}~dx$} $$\int{x\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 33 aa:=integrate(x*sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x - 7a x - 3a x)\|x + a + 4x + 9a x + 6a x + a --R (1) ----------------------------------------------------------- --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x + 3a )\|x + a - 12x - 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 34 bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3 --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 --R (x + a )\|x + a --R (2) ------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 35 14:190 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.191~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sqrt{x^2+a^2}}~dx$} $$\int{x^2\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{x(x^2+a^2)^{3/2}}{4}-\frac{a^2x\sqrt{x^2+a^2}}{8}- \frac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 36 aa:=integrate(x^2*sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 4 3 6 | 2 2 4 4 6 2 8 | 2 2 --R ((8a x + 4a x)\|x + a - 8a x - 8a x - a )log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 8 2 6 4 4 6 2 --R (- 16x - 24a x - 10a x - a x)\|x + a + 16x + 32a x + 20a x + 4a x --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (64x + 32a x)\|x + a - 64x - 64a x - 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 37 bb:=(x*(x^2+a^2)^(3/2))/4-(a^2*x*sqrt(x^2+a^2))/8-a^4/8*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 3 2 | 2 2 --R - a log(\|x + a + x) + (2x + a x)\|x + a --R (2) ----------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 38 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R a log(\|x + a + x) + a log(\|x + a - x) --R (3) --------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 39 14:191 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 4 2 --R a log(a ) --R (4) --------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.192~~~~~$\displaystyle \int{x^3\sqrt{x^2+a^2}}~dx$} $$\int{x^3\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{(x^2+a^2)^{5/2}}{5}-\frac{a^2(x^2+a^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 40 aa:=integrate(x^3*sqrt(x^2+a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 9 2 7 4 5 6 3 8 | 2 2 10 2 8 --R (- 48x - 76a x - 3a x + 35a x + 10a x)\|x + a + 48x + 100a x --R + --R 4 6 6 4 8 2 10 --R 35a x - 40a x - 25a x - 2a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 5 2 3 4 --R (240x + 180a x + 15a )\|x + a - 240x - 300a x - 75a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 41 bb:=(x^2+a^2)^(5/2)/5-(a^2*(x^2+a^2)^(3/2))/3 --R --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (3x + a x - 2a )\|x + a --R (2) ---------------------------- --R 15 --R Type: Expression Integer --E --S 42 14:192 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.193~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}}= \sqrt{x^2+a^2}-a\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 43 aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (- a\|x + a + a x)log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 2 2 --R (a\|x + a - a x)log(\|x + a - x - a) - x\|x + a + x + a --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 44 bb:=sqrt(x^2+a^2)-a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R \|x + a + a | 2 2 --R (2) - a log(--------------) + \|x + a --R x --R Type: Expression Integer --E --S 45 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x + a - x + a) + a log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a --R a log(--------------) --R x --R Type: Expression Integer --E --S 46 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a log(\|x + a + a) - a log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R a log(\|x + a - x - a) - a log(x) --R Type: Expression Integer --E --S 47 14:193 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R (5) - a log(- 1) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.194~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}}= -\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 48 aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x^2,x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 | 2 2 2 --R (- x\|x + a + x )log(\|x + a - x) - a --R (1) -------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 --R x\|x + a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 49 bb:=-sqrt(x^2+a^2)/x+log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R x log(\|x + a + x) - \|x + a --R (2) ---------------------------------- --R x --R Type: Expression Integer --E --S 50 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x + a + x) - log(\|x + a - x) - 1 --R Type: Expression Integer --E --S 51 14:194 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 --R (4) - log(a ) - 1 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.195~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^3}}= -\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{2x^2}-\frac{1}{2a} \ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 52 aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 4 2 2 | 2 2 --R (- 2x \|x + a + 2x + a x )log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 4 2 2 | 2 2 --R (2x \|x + a - 2x - a x )log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 3 3 --R (2a x + a )\|x + a - 2a x - 2a x --R / --R +-------+ --R 3 | 2 2 4 3 2 --R 4a x \|x + a - 4a x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 53 bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(2*x^2)-1/(2*a)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R 2 \|x + a + a | 2 2 --R - x log(--------------) - a\|x + a --R x --R (2) ------------------------------------- --R 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 54 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R +-------+ +-------+ | 2 2 --R | 2 2 | 2 2 \|x + a + a --R - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) + log(--------------) --R x --R ------------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 55 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R log(\|x + a + a) - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) --R + --R - log(x) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 56 14:195 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) - -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.196~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}}= \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 57 aa:=integrate(1/(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R 1 --R (1) - --------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x + a - x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 58 bb:=x/(a^2*sqrt(x^2+a^2)) --R --R x --R (2) ------------ --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R a \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 59 14:196 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 1 --R (3) -- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.197~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{\sqrt{x^2+a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 60 aa:=integrate(x/(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a - x --R (1) --------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x + a - x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 61 bb:=-1/sqrt(x^2+a^2) --R --R 1 --R (2) - ---------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 62 14:197 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.198~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}}}= \frac{-x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 63 aa:=integrate(x^2/(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 2 | 2 2 2 --R (- x\|x + a + x + a )log(\|x + a - x) + a --R (1) ------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x + a - x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 64 bb:=-x/sqrt(x^2+a^2)+log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|x + a log(\|x + a + x) - x --R (2) --------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 65 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x + a + x) - log(\|x + a - x) - 1 --R Type: Expression Integer --E --S 66 14:198 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 --R (4) - log(a ) - 1 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.199~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{(x^2+a^2)^{3/2}}}= \sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 67 aa:=integrate(x^3/(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (- 2x - 4a x)\|x + a + 2x + 5a x + 2a --R (1) -------------------------------------------- --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (2x + a )\|x + a - 2x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 68 bb:=sqrt(x^2+a^2)+a^2/sqrt(x^2+a^2) --R --R 2 2 --R x + 2a --R (2) ---------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 69 14:199 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.200~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^2+a^2)^{3/2}}}= \frac{1}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}- \frac{1}{a^3}\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 70 aa:=integrate(1/(x*(x^2+a^2)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 2 | 2 2 --R (- x\|x + a + x + a )log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 2 | 2 2 | 2 2 --R (x\|x + a - x - a )log(\|x + a - x - a) - a\|x + a + a x --R / --R +-------+ --R 3 | 2 2 3 2 5 --R a x\|x + a - a x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 71 bb:=1/(a^2*sqrt(x^2+a^2))-1/a^3*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 \|x + a + a --R - \|x + a log(--------------) + a --R x --R (2) ----------------------------------- --R +-------+ --R 3 | 2 2 --R a \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 72 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R +-------+ +-------+ | 2 2 --R | 2 2 | 2 2 \|x + a + a --R - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) + log(--------------) --R x --R ------------------------------------------------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 73 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R log(\|x + a + a) - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) --R + --R - log(x) --R / --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 74 14:200 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) - -------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.201~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^2+a^2)^{3/2}}}= -\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a^4x}-\frac{x}{a^4\sqrt{x^2+a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 75 aa:=integrate(1/(x^2*(x^2+a^2)^(3/2)),x) --R --R --R 1 --R (1) - ----------------------------------- --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (2x + a x)\|x + a - 2x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 76 bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(a^4*x)-x/(a^4*sqrt(x^2+a^2)) --R --R 2 2 --R - 2x - a --R (2) ------------- --R +-------+ --R 4 | 2 2 --R a x\|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 77 14:201 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 2 --R (3) - -- --R 4 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.202~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3(x^2+a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(x^2+a^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{2a^2x^2\sqrt{x^2+a^2}}- \frac{3}{2a^4\sqrt{x^2+a^2}}+ \frac{3}{2a^5}\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 78 aa:=integrate(1/(x^3*(x^2+a^2)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 4 2 | 2 2 --R ((12x + 9a x )\|x + a - 12x - 15a x - 3a x )log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 4 2 --R ((- 12x - 9a x )\|x + a + 12x + 15a x + 3a x ) --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 5 3 3 5 --R (12a x + 7a x + a )\|x + a - 12a x - 13a x - 3a x --R / --R +-------+ --R 5 5 7 3 | 2 2 5 6 7 4 9 2 --R (8a x + 6a x )\|x + a - 8a x - 10a x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 79 bb:=-1/(2*a^2*x^2*sqrt(x^2+a^2))-3/(2*a^4*sqrt(x^2+a^2))+3/(2*a^5)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 \|x + a + a 2 3 --R 3x \|x + a log(--------------) - 3a x - a --R x --R (2) --------------------------------------------- --R +-------+ --R 5 2 | 2 2 --R 2a x \|x + a --R Type: Expression Integer --E --S 80 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R +-------+ +-------+ | 2 2 --R | 2 2 | 2 2 \|x + a + a --R 3log(\|x + a - x + a) - 3log(\|x + a - x - a) - 3log(--------------) --R x --R -------------------------------------------------------------------------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 81 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 3log(\|x + a + a) + 3log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - 3log(\|x + a - x - a) + 3log(x) --R / --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 82 14:202 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R 3log(- 1) --R (5) --------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.203~~~~~$\displaystyle\int{(x^2+a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{(x^2+a^2)^{3/2}}= \frac{x(x^2+a^2)^{3/2}}{4}+\frac{3a^2x\sqrt{x^2+a^2}}{8}+ \frac{3}{8}a^4\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 4 3 6 | 2 2 4 4 6 2 8 | 2 2 --R ((- 24a x - 12a x)\|x + a + 24a x + 24a x + 3a )log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 8 2 6 4 4 --R (- 16x - 56a x - 42a x - 5a x)\|x + a + 16x + 64a x + 68a x --R + --R 6 2 --R 20a x --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (64x + 32a x)\|x + a - 64x - 64a x - 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 84 bb:=(x*(x^2+a^2)^(3/2))/4+(3*a^2*x*sqrt(x^2+a^2))/8+3/8*a^4*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 3 2 | 2 2 --R 3a log(\|x + a + x) + (2x + 5a x)\|x + a --R (2) ----------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 85 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R - 3a log(\|x + a + x) - 3a log(\|x + a - x) --R (3) ------------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 86 14:203 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 4 2 --R 3a log(a ) --R (4) - ---------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.204~~~~~$\displaystyle\int{x(x^2+a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x(x^2+a^2)^{3/2}}=\frac{(x^2+a^2)^{5/2}}{5}$$ <<*>>= )clear all --S 87 aa:=integrate(x*(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 9 2 7 4 5 6 3 8 | 2 2 10 2 8 --R (- 16x - 52a x - 61a x - 30a x - 5a x)\|x + a + 16x + 60a x --R + --R 4 6 6 4 8 2 10 --R 85a x + 55a x + 15a x + a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 5 2 3 4 --R (80x + 60a x + 5a )\|x + a - 80x - 100a x - 25a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 88 bb:=(x^2+a^2)^(5/2)/5 --R --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (x + 2a x + a )\|x + a --R (2) --------------------------- --R 5 --R Type: Expression Integer --E --S 89 14:204 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.205~~~~~$\displaystyle\int{x^2(x^2+a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^2(x^2+a^2)^{3/2}}= \frac{x(x^2+a^2)^{5/2}}{6}-\frac{a^2x(x^2+a^2)^{3/2}}{24}- \frac{a^4x\sqrt{x^2+a^2}}{16}- \frac{a^6}{16}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 90 aa:=integrate(x^2*(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 6 5 8 3 10 | 2 2 6 6 8 4 10 2 --R (96a x + 96a x + 18a x)\|x + a - 96a x - 144a x - 54a x --R + --R 12 --R - 3a --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 11 2 9 4 7 6 5 8 3 10 | 2 2 --R (- 256x - 832a x - 912a x - 404a x - 68a x - 3a x)\|x + a --R + --R 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 --R 256x + 960a x + 1296a x + 772a x + 198a x + 18a x --R / --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (1536x + 1536a x + 288a x)\|x + a - 1536x - 2304a x - 864a x - 48a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 91 bb:=(x*(x^2+a^2)^(5/2))/6-(a^2*x*(x^2+a^2)^(3/2))/24-(a^4*x*sqrt(x^2+a^2))/16-a^6/16*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 6 | 2 2 5 2 3 4 | 2 2 --R - 3a log(\|x + a + x) + (8x + 14a x + 3a x)\|x + a --R (2) ---------------------------------------------------------- --R 48 --R Type: Expression Integer --E --S 92 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 6 | 2 2 6 | 2 2 --R a log(\|x + a + x) + a log(\|x + a - x) --R (3) --------------------------------------------- --R 16 --R Type: Expression Integer --E --S 93 14:205 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 6 2 --R a log(a ) --R (4) --------- --R 16 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.206~~~~~$\displaystyle\int{x^3(x^2+a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^3(x^2+a^2)^{3/2}}= \frac{(x^2+a^2)^{7/2}}{7}-\frac{a^2(x^2+a^2)^{5/2}}{5} $$ <<*>>= )clear all --S 94 aa:=integrate(x^3*(x^2+a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R 13 2 11 4 9 6 7 8 5 10 3 --R - 320x - 1072a x - 1240a x - 467a x + 112a x + 105a x --R + --R 12 --R 14a x --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a --R + --R 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 --R 320x + 1232a x + 1736a x + 973a x + 21a x - 175a x - 49a x --R + --R 14 --R - 2a --R / --R +-------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 7 2 5 --R (2240x + 2800a x + 840a x + 35a )\|x + a - 2240x - 3920a x --R + --R 4 3 6 --R - 1960a x - 245a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 95 bb:=(x^2+a^2)^(7/2)/7-(a^2*(x^2+a^2)^(5/2))/5 --R --R +-------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 --R (5x + 8a x + a x - 2a )\|x + a --R (2) ------------------------------------ --R 35 --R Type: Expression Integer --E --S 96 14:206 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.207~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x}}= \frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{3}+a^2\sqrt{x^2+a^2}- a^3\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 97 aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2)/x,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 3 2 5 | 2 2 3 3 5 | 2 2 --R ((- 12a x - 3a )\|x + a + 12a x + 9a x)log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ --R 3 2 5 | 2 2 3 3 5 | 2 2 --R ((12a x + 3a )\|x + a - 12a x - 9a x)log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x - 19a x - 12a x)\|x + a + 4x + 21a x + 21a x + 4a --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x + 3a )\|x + a - 12x - 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 98 bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(x^2+a^2)-a^3*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R 3 \|x + a + a 2 2 | 2 2 --R - 3a log(--------------) + (x + 4a )\|x + a --R x --R (2) ----------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 99 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 3 | 2 2 --R - a log(\|x + a - x + a) + a log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 3 \|x + a + a --R a log(--------------) --R x --R Type: Expression Integer --E --S 100 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 3 | 2 2 --R a log(\|x + a + a) - a log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ --R 3 | 2 2 3 --R a log(\|x + a - x - a) - a log(x) --R Type: Expression Integer --E --S 101 14:207 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R 3 --R (5) - a log(- 1) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.208~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x^2}}= -\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x}+\frac{3x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+ \frac{3}{2}a^2\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 102 aa:=integrate((x^2+a^2)^{3/2}/x^2,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 3 4 | 2 2 2 4 4 2 | 2 2 --R ((- 12a x - 3a x)\|x + a + 12a x + 9a x )log(\|x + a - x) --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x - 3a x + 4a x)\|x + a + 4x + 5a x - 3a x - 2a --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (8x + 2a x)\|x + a - 8x - 6a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 103 bb:=-(x^2+a^2)^(3/2)/x+(3*x*sqrt(x^2+a^2))/2+3/2*a^2*log(x+sqrt(x^2+a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 | 2 2 --R 3a x log(\|x + a + x) + (x - 2a )\|x + a --R (2) ----------------------------------------------- --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 104 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 2 --R - 3a log(\|x + a + x) - 3a log(\|x + a - x) - 2a --R (3) ------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 105 14:208 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 2 2 --R - 3a log(a ) - 2a --R (4) ------------------ --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.209~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{x^3}}= -\frac{(x^2+a^2)^{3/2}}{2x^2}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2+a^2}- \frac{3}{2}a\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 106 aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 4 3 2 | 2 2 5 3 3 | 2 2 --R ((- 12a x - 3a x )\|x + a + 12a x + 9a x )log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ +-------+ --R 4 3 2 | 2 2 5 3 3 | 2 2 --R ((12a x + 3a x )\|x + a - 12a x - 9a x )log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 8x - 2a x + 3a x)\|x + a + 8x + 6a x - 3a x - a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 | 2 2 5 2 3 --R (8x + 2a x )\|x + a - 8x - 6a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 107 bb:=-(x^2+a^2)^(3/2)/(2*x^2)+3/2*sqrt(x^2+a^2)-3/2*a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R 2 \|x + a + a 2 2 | 2 2 --R - 3a x log(--------------) + (2x - a )\|x + a --R x --R (2) ------------------------------------------------- --R 2 --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 108 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 3a log(\|x + a - x + a) + 3a log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a --R 3a log(--------------) --R x --R / --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 109 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 3a log(\|x + a + a) - 3a log(\|x + a - x + a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 3a log(\|x + a - x - a) - 3a log(x) --R / --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 110 14:209 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R 3a log(- 1) --R (5) - ----------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p67-68 \end{thebibliography} \end{document}