\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum8.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.163~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{a^2-x^2}}$} $$\int{\frac{1}{a^2-x^2}}=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a-x}{a+x}\right)$$ $$\int{\frac{1}{a^2-x^2}}=-\frac{1}{a}\coth^{-1}\frac{x}{a}$$ <<*>>= )spool schaum8.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(a^2-x^2),x) --R --R --R log(x + a) - log(x - a) --R (1) ----------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=1/(2*a)*log((a+x)/(a-x)) --R --R - x - a --R log(-------) --R x - a --R (2) ------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R - x - a --R log(x + a) - log(x - a) - log(-------) --R x - a --R (3) -------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 4 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (4) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 5 dd:=divlog cc --R --R log(x + a) - log(- x - a) --R (5) ------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 6 logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1)) --R --I (6) log(x + a) - log(- x - a) + %I == log(- 1) + %I --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 7 14:163 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=logminus dd --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.164~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{a^2-x^2}}$} $$\int{\frac{x}{a^2-x^2}}=-\frac{1}{2}\ln(a^2-x^2)$$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(x/(a^2-x^2),x) --R --R --R 2 2 --R log(x - a ) --R (1) - ------------ --R 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=-1/2*log(a^2-x^2) --R --R 2 2 --R log(- x + a ) --R (2) - -------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc:=aa-bb --R --R 2 2 2 2 --R - log(x - a ) + log(- x + a ) --R (3) ------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 11 logminus1:=rule(-log(x^2-a^2)+log(-x^2+a^2) == log(-1)) --R --R 2 2 2 2 --I (4) - log(x - a ) + log(- x + a ) + %H == log(- 1) + %H --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 12 14:164 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminus1 cc --R --R log(- 1) --R (5) -------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.165~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x^2~dx}{a^2-x^2}}$} $$\int{\frac{x^2}{a^2-x^2}}=-x+\frac{a}{2}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$ <<*>>= )clear all --S 13 aa:=integrate(x^2/(a^2-x^2),x) --R --R --R a log(x + a) - a log(x - a) - 2x --R (1) -------------------------------- --R 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 14 bb:=-x+a/2*log((a+x)/(a-x)) --R --R - x - a --R a log(-------) - 2x --R x - a --R (2) ------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 15 cc:=aa-bb --R --R - x - a --R a log(x + a) - a log(x - a) - a log(-------) --R x - a --R (3) -------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 16 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (4) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 17 dd:=divlog cc --R --R a log(x + a) - a log(- x - a) --R (5) ----------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 18 logminusa:=rule(b*log(x + a) - b*log(- x - a) == b*log(-1)) --R --I (6) b log(x + a) - b log(- x - a) + %M == b log(- 1) + %M --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 19 14:165 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=logminusa dd --R --R a log(- 1) --R (7) ---------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.166~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x^3~dx}{a^2-x^2}}$} $$\int{\frac{x^3}{a^2-x^2}}=-\frac{x^2}{2}-\frac{a^2}{2}\ln(a^2-x^2)$$ <<*>>= )clear all --S 20 aa:=integrate(x^3/(a^2-x^2),x) --R --R --R 2 2 2 2 --R - a log(x - a ) - x --R (1) --------------------- --R 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 21 bb:=-x^2/2-a^2/2*log(a^2-x^2) --R --R 2 2 2 2 --R - a log(- x + a ) - x --R (2) ----------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 22 cc:=aa-bb --R --R 2 2 2 2 2 2 --R - a log(x - a ) + a log(- x + a ) --R (3) ----------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 23 logminus1b:=rule(-b*log(x^2-a^2)+b*log(-x^2+a^2) == b*log(-1)) --R --R 2 2 2 2 --I (4) - b log(x - a ) + b log(- x + a ) + %N == b log(- 1) + %N --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 24 14:166 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminus1b cc --R --R 2 --R a log(- 1) --R (5) ---------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.167~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x(a^2-x^2)}}$} $$\int{\frac{1}{x(a^2-x^2)}}= \frac{1}{2a^2}\ln\left(\frac{x^2}{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 25 aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)),x) --R --R --R 2 2 --R - log(x - a ) + 2log(x) --R (1) ------------------------ --R 2 --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 26 bb:=1/(2*a^2)*log(x^2/(a^2-x^2)) --R --R 2 --R x --R log(- -------) --R 2 2 --R x - a --R (2) -------------- --R 2 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 27 cc:=aa-bb --R --R 2 --R 2 2 x --R - log(x - a ) + 2log(x) - log(- -------) --R 2 2 --R x - a --R (3) ----------------------------------------- --R 2 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 28 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (4) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 29 dd:=divlog cc --R --R 2 --R 2log(x) - log(- x ) --R (5) ------------------- --R 2 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 30 logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1)) --R --R n --R (6) log(- a ) == n log(a) + log(- 1) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 31 14:167 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=logpowminus dd --R --R log(- 1) --R (7) - -------- --R 2 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.168~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^2(a^2-x^2)}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(a^2-x^2)}}= \frac{1}{a^2x}+\frac{1}{2a^3}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 32 aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)),x) --R --R --R x log(x + a) - x log(x - a) - 2a --R (1) -------------------------------- --R 3 --R 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 33 bb:=-1/(a^2*x)+1/(2*a^3)*log((a+x)/(a-x)) --R --R - x - a --R x log(-------) - 2a --R x - a --R (2) ------------------- --R 3 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 34 cc:=aa-bb --R --R - x - a --R log(x + a) - log(x - a) - log(-------) --R x - a --R (3) -------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 35 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (4) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 36 dd:=divlog cc --R --R log(x + a) - log(- x - a) --R (5) ------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 37 logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1)) --R --I (6) log(x + a) - log(- x - a) + %O == log(- 1) + %O --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 38 14:168 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=logminus dd --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.169~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^3(a^2-x^2)}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(a^2-x^2)}}= -\frac{1}{2a^2x^2}+\frac{1}{2a^4}\ln\left(\frac{x^2}{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 39 aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)),x) --R --R --R 2 2 2 2 2 --R - x log(x - a ) + 2x log(x) - a --R (1) --------------------------------- --R 4 2 --R 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 40 bb:=-1/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^4)*log(x^2/(a^2-x^2)) --R --R 2 --R 2 x 2 --R x log(- -------) - a --R 2 2 --R x - a --R (2) --------------------- --R 4 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 41 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 42 bb1:=divlog bb --R --R 2 2 2 2 2 2 --R - x log(x - a ) + x log(- x ) - a --R (4) ----------------------------------- --R 4 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 43 cc:=aa-bb1 --R --R 2 --R 2log(x) - log(- x ) --R (5) ------------------- --R 4 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 44 logminuspow:=rule(log(-x^n) == n*log(x)+log(-1)) --R --R n --R (6) log(- x ) == n log(x) + log(- 1) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 45 14:169 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminuspow cc --R --R log(- 1) --R (7) - -------- --R 4 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.170~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{1}{(a^2-x^2)^2}}= \frac{x}{2a^2(a^2-x^2)}+\frac{1}{4a^3}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 46 aa:=integrate(1/((a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 2 2 2 2 --R (x - a )log(x + a) + (- x + a )log(x - a) - 2a x --R (1) -------------------------------------------------- --R 3 2 5 --R 4a x - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 47 bb:=x/(2*a^2*(a^2-x^2))+1/(4*a^3)*log((a+x)/(a-x)) --R --R 2 2 - x - a --R (x - a )log(-------) - 2a x --R x - a --R (2) ---------------------------- --R 3 2 5 --R 4a x - 4a --R Type: Expression Integer --E --S 48 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 49 bb1:=divlog bb --R --R 2 2 2 2 --R (- x + a )log(x - a) + (x - a )log(- x - a) - 2a x --R (4) ---------------------------------------------------- --R 3 2 5 --R 4a x - 4a --R Type: Expression Integer --E --S 50 cc:=aa-bb1 --R --R log(x + a) - log(- x - a) --R (5) ------------------------- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 51 logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1)) --R --I (6) log(x + a) - log(- x - a) + %P == log(- 1) + %P --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 52 14:170 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminus cc --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.171~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{x}{(a^2-x^2)^2}}= \frac{1}{2(a^2-x^2)} $$ <<*>>= )clear all --S 53 aa:=integrate(x/((a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 1 --R (1) - --------- --R 2 2 --R 2x - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 54 bb:=1/(2*(a^2-x^2)) --R --R 1 --R (2) - --------- --R 2 2 --R 2x - 2a --R Type: Fraction Polynomial Integer --E --S 55 14:171 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.172~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x^2dx}{(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{x^2}{(a^2-x^2)^2}}= \frac{x}{2(a^2-x^2)}-\frac{1}{4a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 56 aa:=integrate(x^2/((a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 2 2 2 2 --R (- x + a )log(x + a) + (x - a )log(x - a) - 2a x --R (1) -------------------------------------------------- --R 2 3 --R 4a x - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 57 bb:=x/(2*(a^2-x^2))-1/(4*a)*log((a+x)/(a-x)) --R --R 2 2 - x - a --R (- x + a )log(-------) - 2a x --R x - a --R (2) ------------------------------ --R 2 3 --R 4a x - 4a --R Type: Expression Integer --E --S 58 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 59 bb1:=divlog bb --R --R 2 2 2 2 --R (x - a )log(x - a) + (- x + a )log(- x - a) - 2a x --R (4) ---------------------------------------------------- --R 2 3 --R 4a x - 4a --R Type: Expression Integer --E --S 60 cc:=aa-bb1 --R --R - log(x + a) + log(- x - a) --R (5) --------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 61 logminus2:=rule(-log(x + a) + log(- x - a) == log(-1)) --R --I (6) - log(x + a) + log(- x - a) + %S == log(- 1) + %S --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 62 14:172 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminus2 cc --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.173~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{x^3}{(a^2-x^2)^2}}= \frac{a^2}{2(a^2-x^2)}+\frac{1}{2}\ln(a^2-x^2) $$ <<*>>= )clear all --S 63 aa:=integrate(x^3/((a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 2 2 2 2 2 --R (x - a )log(x - a ) - a --R (1) -------------------------- --R 2 2 --R 2x - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 64 bb:=a^2/(2*(a^2-x^2))+1/2*log(a^2-x^2) --R --R 2 2 2 2 2 --R (x - a )log(- x + a ) - a --R (2) ---------------------------- --R 2 2 --R 2x - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 65 cc:=aa-bb --R --R 2 2 2 2 --R log(x - a ) - log(- x + a ) --R (3) ----------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 66 logminus3:=rule(log(x^2-a^2)-log(-x^2+a^2) == log(-1)) --R --R 2 2 2 2 --I (4) log(x - a ) - log(- x + a ) + %T == log(- 1) + %T --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 67 14:173 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logminus3 cc --R --R log(- 1) --R (5) -------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.174~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{1}{x(a^2-x^2)^2}}= \frac{1}{2a^2(a^2-x^2)}+\frac{1}{2a^4}\ln\left(\frac{x^2}{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 68 aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 2 2 2 2 2 2 2 --R (- x + a )log(x - a ) + (2x - 2a )log(x) - a --R (1) ------------------------------------------------ --R 4 2 6 --R 2a x - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 69 bb:=1/(2*a^2*(a^2-x^2))+1/(2*a^4)*log(x^2/(a^2-x^2)) --R --R 2 --R 2 2 x 2 --R (x - a )log(- -------) - a --R 2 2 --R x - a --R (2) ---------------------------- --R 4 2 6 --R 2a x - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 70 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 71 bb1:=divlog bb --R --R 2 2 2 2 2 2 2 2 --R (- x + a )log(x - a ) + (x - a )log(- x ) - a --R (4) ------------------------------------------------- --R 4 2 6 --R 2a x - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 72 cc:=aa-bb1 --R --R 2 --R 2log(x) - log(- x ) --R (5) ------------------- --R 4 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 73 logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1)) --R --R n --R (6) log(- a ) == n log(a) + log(- 1) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 74 14:174 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logpowminus cc --R --R log(- 1) --R (7) - -------- --R 4 --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.175~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^2(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(a^2-x^2)^2}}= -\frac{1}{a^4x}+\frac{x}{2a^4(a^2-x^2)}+ \frac{3}{4a^5}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 75 aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)^2),x) --R --R 3 2 3 2 2 3 --R (3x - 3a x)log(x + a) + (- 3x + 3a x)log(x - a) - 6a x + 4a --R (1) --------------------------------------------------------------- --R 5 3 7 --R 4a x - 4a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 76 bb:=-1/(a^4*x)+x/(2*a^4*(a^2-x^2))+3/(4*a^5)*log((a+x)/(a-x)) --R --R 3 2 - x - a 2 3 --R (3x - 3a x)log(-------) - 6a x + 4a --R x - a --R (2) -------------------------------------- --R 5 3 7 --R 4a x - 4a x --R Type: Expression Integer --E --S 77 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 78 bb1:=divlog bb --R --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 3x + 3a x)log(x - a) + (3x - 3a x)log(- x - a) - 6a x + 4a --R (4) ----------------------------------------------------------------- --R 5 3 7 --R 4a x - 4a x --R Type: Expression Integer --E --S 79 cc:=aa-bb --R --R - x - a --R 3log(x + a) - 3log(x - a) - 3log(-------) --R x - a --R (5) ----------------------------------------- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 80 dd:=divlog cc --R --R 3log(x + a) - 3log(- x - a) --R (6) --------------------------- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 81 logminusb:=rule(b*log(x + a) - b*log(- x - a) == b*log(-1)) --R --I (7) b log(x + a) - b log(- x - a) + %U == b log(- 1) + %U --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 82 14:175 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=logminusb dd --R --R 3log(- 1) --R (8) --------- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.176~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^3(a^2-x^2)^2}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(a^2-x^2)^2}}= \frac{1}{2a^4x^2}+\frac{1}{2a^4(a^2-x^2)}+ \frac{1}{a^6}\ln\left(\frac{x^2}{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)^2),x) --R --R --R 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 --R (- 2x + 2a x )log(x - a ) + (4x - 4a x )log(x) - 2a x + a --R (1) -------------------------------------------------------------- --R 6 4 8 2 --R 2a x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 84 bb:=-1/(2*a^4*x^2)+1/(2*a^4*(a^2-x^2))+1/a^6*log(x^2/(a^2-x^2)) --R --R 2 --R 4 2 2 x 2 2 4 --R (2x - 2a x )log(- -------) - 2a x + a --R 2 2 --R x - a --R (2) ---------------------------------------- --R 6 4 8 2 --R 2a x - 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 85 divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b)) --R --R a --R (3) log(-) == - log(b) + log(a) --R b --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 86 bb1:=divlog bb --R --R 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 --R (- 2x + 2a x )log(x - a ) + (2x - 2a x )log(- x ) - 2a x + a --R (4) ----------------------------------------------------------------- --R 6 4 8 2 --R 2a x - 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 87 cc:=aa-bb1 --R --R 2 --R 2log(x) - log(- x ) --R (5) ------------------- --R 6 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 88 logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1)) --R --R n --R (6) log(- a ) == n log(a) + log(- 1) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 89 14:176 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logpowminus cc --R --R log(- 1) --R (7) - -------- --R 6 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.177~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(a^2-x^2)^n}}$} $$\int{\frac{1}{(a^2-x^2)^n}}= \frac{x}{2(n-1)a^2(a^2-x^2)^{n-1}}+ \frac{2n-3}{(2n-2)a^2}\int{\frac{1}{(a^2-x^2)^{n-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 90 14:177 Axiom cannot do this integration aa:=integrate(1/((a^2-x^2)^n),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ----------- d%L --R ++ 2 2 n --I (a - %L ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.178~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{(a^2-x^2)^n}}$} $$\int{\frac{x}{(a^2-x^2)^n}}= \frac{1}{2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}} $$ <<*>>= )clear all --S 91 aa:=integrate(x/((a^2-x^2)^n),x) --R --R --R 2 2 --R - x + a --R (1) -------------------------- --R 2 2 --R n log(- x + a ) --R (2n - 2)%e --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 92 bb:=1/(2*(n-1)*(a^2-x^2)^(n-1)) --R --R 1 --R (2) ------------------------ --R 2 2 n - 1 --R (2n - 2)(- x + a ) --R Type: Expression Integer --E --S 93 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R n log(- x + a ) 2 2 2 2 n - 1 --R - %e + (- x + a )(- x + a ) --R (3) -------------------------------------------------- --R 2 2 --R 2 2 n - 1 n log(- x + a ) --R (2n - 2)(- x + a ) %e --R Type: Expression Integer --E --S 94 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 95 dd:=explog cc --R --R 2 2 n 2 2 2 2 n - 1 --R - (- x + a ) + (- x + a )(- x + a ) --R (5) -------------------------------------------- --R 2 2 n - 1 2 2 n --R (2n - 2)(- x + a ) (- x + a ) --R Type: Expression Integer --E --S 96 14:178 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.179~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x(a^2-x^2)^n}}$} $$\int{\frac{1}{x(a^2-x^2)^n}}= \frac{1}{2(n-1)a^2(a^2-x^2)^{n-1}}+ \frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{x(a^2-x^2)^{n-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 97 14:179 Axiom cannot integrate this expression aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^n),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------- d%L --R ++ 2 2 n --I %L (a - %L ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.180~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x^mdx}{(a^2-x^2)^n}}$} $$\int{\frac{x^m}{(a^2-x^2)^n}}= a^2\int\frac{x^{m-2}}{(a^2-x^2)^n}- \int{\frac{x^{m-2}}{(a^2-x^2)^{n-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 98 14:180 Axiom cannot integrate this expression aa:=integrate(x^m/((a^2-x^2)^n),x) --R --R --R x m --I ++ %L --I (1) | ----------- d%L --R ++ 2 2 n --I (a - %L ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.181~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^m(a^2-x^2)^n}}$} $$\int{\frac{1}{x^m(a^2-x^2)^n}}= \frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{x^m(a^2-x^2)^{n-1}}}+ \frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{x^{m-2}(a^2-x^2)^n}} $$ <<*>>= )clear all --S 99 14:181 Axiom cannot integrate this expression aa:=integrate(1/(x^m*(a^2-x^2)^n),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------- d%L --R ++ m 2 2 n --I %L (a - %L ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p66 \end{thebibliography} \end{document}