\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum25.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.509~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}}~dx$}
$$\int{e^{ax}}=
\frac{e^{ax}}{a}
$$
<<*>>=
)spool schaum25.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(%e^(a*x),x)
--R
--R          a x
--R        %e
--R   (1)  -----
--R          a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb:=%e^(a*x)/a
--R
--R          a x
--R        %e
--R   (2)  -----
--R          a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3      14:509 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.510~~~~~$\displaystyle
\int{xe^{ax}}~dx$}
$$\int{xe^{ax}}=
\frac{e^{ax}}{x}\left(x-\frac{1}{a}\right)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 4
aa:=integrate(x*%e^(a*x),x)
--R
--R                   a x
--R        (a x - 1)%e
--R   (1)  --------------
--R               2
--R              a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 5
bb:=%e^(a*x)/a*(x-1/a)
--R
--R                   a x
--R        (a x - 1)%e
--R   (2)  --------------
--R               2
--R              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 6      14:510 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.511~~~~~$\displaystyle
\int{x^2e^{ax}}~dx$}
$$\int{x^2e^{ax}}=
\frac{e^{ax}}{x}\left(x^2-\frac{2x}{a}+\frac{2}{a^2}\right)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 7
aa:=integrate(x^2*%e^(a*x),x)
--R
--R          2 2              a x
--R        (a x  - 2a x + 2)%e
--R   (1)  ----------------------
--R                   3
--R                  a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 8
bb:=%e^(a*x)/a*(x^2-(2*x)/a+2/a^2)
--R
--R          2 2              a x
--R        (a x  - 2a x + 2)%e
--R   (2)  ----------------------
--R                   3
--R                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 9      14:511 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.512~~~~~$\displaystyle
\int{x^ne^{ax}}~dx$}
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle\int{x^ne^{ax}}=&
\displaystyle
\frac{x^ne^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int{x^{n-1}e^{ax}}\\
\\
&\displaystyle
=\frac{e^{ax}}{x}\left(x^n-\frac{nx^{n-1}}{a}+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{a^2}
-\cdots \frac{(-1)^nn!}{a^n}\right)
\\
&\hbox{\hskip 5cm}{\rm\ if\ }n={\rm positive integer}
\end{array}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 10     14:512 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^n*%e^(a*x),x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a  n
--I   (1)   |   %e    %I d%I
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

@

\section{\cite{1}:14.513~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{e^{ax}}{x}}~dx$}
$$\int{\frac{e^{ax}}{x}}=
\ln{x}+\frac{ax}{1\cdot 1!}+\frac{(ax)^2}{2\cdot 2!}
+\frac{(ax)^3}{3\cdot 3!}+\cdots
$$
<<*>>=
)clear all

--S 11     14:513 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(%e^(a*x)/x,x)
--R
--R   (1)  Ei(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.514~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{e^{ax}}{x^n}}~dx$}
$$\int{\frac{e^{ax}}{x^n}}=
\frac{-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\int{\frac{e^{ax}}{x^{n-1}}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 12     14:514 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)/x^n,x)
--R
--I           x   %I a
--R         ++  %e
--I   (1)   |   ------ d%I
--R        ++       n
--I               %I
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.515~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{p+qe^{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{p+qe^{ax}}}=
\frac{x}{p}-\frac{1}{ap}\ln(p+qe^{ax})
$$
<<*>>=
)clear all

--S 13
aa:=integrate(1/(p+q*%e^(a*x)),x)
--R
--R                  a x
--R        - log(q %e    + p) + a x
--R   (1)  ------------------------
--R                   a p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 14
bb:=x/p-1/(a*p)*log(p+q*%e^(a*x))
--R
--R                  a x
--R        - log(q %e    + p) + a x
--R   (2)  ------------------------
--R                   a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 15     14:515 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.516~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{(p+qe^{ax})^2}}~dx$}
$$\int{\frac{dx}{(p+qe^{ax})^2}}=
\frac{x}{p^2}+\frac{1}{ap(p+qe^{ax})}-\frac{1}{ap^2}\ln(p+qe^{ax})
$$
<<*>>=
)clear all

--S 16
aa:=integrate(1/(p+q*%e^(a*x))^2,x)
--R
--R               a x             a x                a x
--R        (- q %e    - p)log(q %e    + p) + a q x %e    + a p x + p
--R   (1)  ---------------------------------------------------------
--R                               2    a x      3
--R                            a p q %e    + a p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

--S 17
bb:=x/p^2+1/(a*p*(p+q*%e^(a*x)))-1/(a*p^2)*log(p+q*%e^(a*x))
--R
--R               a x             a x                a x
--R        (- q %e    - p)log(q %e    + p) + a q x %e    + a p x + p
--R   (2)  ---------------------------------------------------------
--R                               2    a x      3
--R                            a p q %e    + a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18     14:516 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.517~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{pe^{ax}+qe^{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{dx}{pe^{ax}+qe^{ax}}}=
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{1}{a\sqrt{pq}}\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{p}{q}}e^{ax}\right)\\
\\
\displaystyle
\frac{1}{2a\sqrt{-pq}}
\ln\left(\frac{e^{ax}-\sqrt{-q/p}}{e^{ax}+\sqrt{-q/p}}\right)
\end{array}
\right.
$$
<<*>>=
)clear all

--S 19
aa:=integrate(1/(p*%e^(a*x)+q*%e^-(a*x)),x)
--R
--R                   a x 2      +-----+          a x
--R             (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e            a x +---+
--R         log(-------------------------------------)      %e   \|p q
--R                              a x 2                 atan(-----------)
--R                         p (%e   )  + q                       q
--R   (1)  [------------------------------------------,-----------------]
--R                            +-----+                        +---+
--R                         2a\|- p q                       a\|p q
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 20
bb1:=1/(a*sqrt(p*q))*atan(sqrt(p/q)*%e^(a*x))
--R
--R                   +-+
--R               a x |p
--R        atan(%e    |- )
--R                  \|q
--R   (2)  ---------------
--R              +---+
--R            a\|p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 21
bb2:=1/(2*a*sqrt(-p*q))*log((%e^(a*x)-sqrt(-q/p))/(%e^(a*x)+sqrt(-q/p)))
--R
--R               +---+
--R               |  q      a x
--R            -  |- -  + %e
--R              \|  p
--R        log(----------------)
--R              +---+
--R              |  q      a x
--R              |- -  + %e
--R             \|  p
--R   (3)  ---------------------
--R                 +-----+
--R              2a\|- p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 22
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R                   a x 2      +-----+          a x                        +-+
--R    +---+    (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e         +-----+       a x |p
--R   \|p q log(-------------------------------------) - 2\|- p q atan(%e    |- )
--R                              a x 2                                      \|q
--R                         p (%e   )  + q
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                    +-----+ +---+
--R                                 2a\|- p q \|p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 23
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R               a x +---+               +-+
--R             %e   \|p q            a x |p
--R        atan(-----------) - atan(%e    |- )
--R                  q                   \|q
--R   (5)  -----------------------------------
--R                        +---+
--R                      a\|p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 24
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R                                                            +---+
--R                                                            |  q      a x
--R                  a x 2      +-----+          a x        -  |- -  + %e
--R            (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e             \|  p
--R        log(-------------------------------------) - log(----------------)
--R                             a x 2                         +---+
--R                        p (%e   )  + q                     |  q      a x
--R                                                           |- -  + %e
--R                                                          \|  p
--R   (6)  ------------------------------------------------------------------
--R                                       +-----+
--R                                    2a\|- p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 25     14:517 Axiom cannot simplify these expressions
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R                       +---+
--R                       |  q      a x
--R                    -  |- -  + %e                       a x +---+
--R           +---+      \|  p               +-----+     %e   \|p q
--R        - \|p q log(----------------) + 2\|- p q atan(-----------)
--R                      +---+                                q
--R                      |  q      a x
--R                      |- -  + %e
--R                     \|  p
--R   (7)  ----------------------------------------------------------
--R                                +-----+ +---+
--R                             2a\|- p q \|p q
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.518~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}\sin{bx}}~dx$}
$$\int{e^{ax}\sin{bx}}=
\frac{e^{ax}(a\sin{bx}-b\cos{bx})}{a^2+b^2}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 26
aa:=integrate(%e^(a*x)*sin(b*x),x)
--R
--R            a x                       a x
--R        a %e   sin(b x) - b cos(b x)%e
--R   (1)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 27
bb:=((%e^(a*x))*(a*sin(b*x)-b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)
--R
--R            a x                       a x
--R        a %e   sin(b x) - b cos(b x)%e
--R   (2)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 28     14:518 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.519~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}\cos{bx}}~dx$}
$$\int{e^{ax}\cos{bx}}=
\frac{e^{ax}(a\cos{bx}-b\sin{bx})}{a^2+b^2}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 29
aa:=integrate(%e^(a*x)*cos(b*x),x)
--R
--R            a x                       a x
--R        b %e   sin(b x) + a cos(b x)%e
--R   (1)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 30
bb:=((%e^(a*x))*(a*cos(b*x)+b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)
--R
--R            a x                       a x
--R        b %e   sin(b x) + a cos(b x)%e
--R   (2)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 31     14:519 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.520~~~~~$\displaystyle
\int{xe^{ax}\sin{bx}}~dx$}
$$\int{xe^{ax}\sin{bx}}=
\frac{xe^{ax}(a\sin{bx}-b\cos{bx})}{a^2+b^2}
-\frac{e^{ax}\left((a^2-b^2)\sin{bx}-2ab\cos{bx}\right)}{(a^2+b^2)^2}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 32
aa:=integrate(x*%e^(a*x)*sin(b*x),x)
--R
--R   (1)
--R        2    3      2    2   a x                3    2                     a x
--R   ((a b  + a )x + b  - a )%e   sin(b x) + ((- b  - a b)x + 2a b)cos(b x)%e
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                  4     2 2    4
--R                                 b  + 2a b  + a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 33
bb:=(x*%e^(a*x)*(a*sin(b*x)-b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)-(%e^(a*x)*((a^2-b^2)*sin(b*x)-2*a*b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)^2
--R
--R   (2)
--R        2    3      2    2   a x                3    2                     a x
--R   ((a b  + a )x + b  - a )%e   sin(b x) + ((- b  - a b)x + 2a b)cos(b x)%e
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                  4     2 2    4
--R                                 b  + 2a b  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 34     14:520 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.521~~~~~$\displaystyle
\int{xe^{ax}\cos{bx}}~dx$}
$$\int{xe^{ax}\cos{bx}}=
\frac{xe^{ax}(a\cos{bx}-b\sin{bx})}{a^2+b^2}
-\frac{e^{ax}\left((a^2-b^2)\cos{bx}-2ab\sin{bx}\right)}{(a^2+b^2)^2}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 35
aa:=integrate(x*%e^(a*x)*cos(b*x),x)
--R
--R   (1)
--R      3    2             a x                2    3      2    2           a x
--R   ((b  + a b)x - 2a b)%e   sin(b x) + ((a b  + a )x + b  - a )cos(b x)%e
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                 4     2 2    4
--R                                b  + 2a b  + a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 36
bb:=(x*%e^(a*x)*(a*cos(b*x)+b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)-(%e^(a*x)*((a^2-b^2)*cos(b*x)+2*a*b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)^2
--R
--R   (2)
--R      3    2             a x                2    3      2    2           a x
--R   ((b  + a b)x - 2a b)%e   sin(b x) + ((a b  + a )x + b  - a )cos(b x)%e
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                 4     2 2    4
--R                                b  + 2a b  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 37     14:521 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.522~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}\ln{x}}~dx$}
$$\int{e^{ax}\ln{x}}=
\frac{e^{ax}\ln{x}}{a}-\frac{1}{a}\int{\frac{e^{ax}}{x}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 38     14:522 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(%e^(a*x)*log(x),x)
--R
--R          a x
--R        %e   log(x) - Ei(a x)
--R   (1)  ---------------------
--R                  a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.523~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}\sin^n{bx}}~dx$}
$$\int{e^{ax}\sin^n{bx}}=
\frac{e^{ax}\sin^{n-1}{bx}}{a^2+n^2b^2}(a\sin{bx}-nb\cos{bx})
+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+n^2b^2}\int{e^{ax}\sin^{n-2}{bx}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 39     14:523 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)*sin(b*x)^n,x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a         n
--I   (1)   |   %e    sin(%I b) d%I
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.524~~~~~$\displaystyle
\int{e^{ax}\cos^n{bx}}~dx$}
$$\int{e^{ax}\cos^n{bx}}=
\frac{e^{ax}\cos^{n-1}{bx}}{a^2+n^2b^2}(a\cos{bx}-nb\sin{bx})
+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+n^2b^2}\int{e^{ax}\cos^{n-2}{bx}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 40     14:524 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)*cos(b*x)^n,x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a         n
--I   (1)   |   %e    cos(%I b) d%I
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p85
\end{thebibliography}
\end{document}