\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum22.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.451~~~~~$\displaystyle
\int{\sec{ax}}~dx$}
$$\int{\sec{ax}}=
\frac{1}{a}\ln(\sec{ax}+\tan{ax})=
\frac{1}{a}\ln\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)
$$
<<*>>=
)spool schaum22.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(sec(a*x),x)
--R 
--R
--R            sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R        log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                  cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                     a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb1:=1/a*log(sec(a*x)+tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x) + sec(a x))
--R   (2)  ------------------------
--R                    a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3
bb2:=1/a*log(tan((a*x)/2+%pi/4))
--R
--R                2a x + %pi
--R        log(tan(----------))
--R                     4
--R   (3)  --------------------
--R                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 4
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)
--R                                        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(a x) + sec(a x)) + log(-----------------------)
--R                                              cos(a x) + 1
--R     + 
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 5
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (5)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 6
dd1:=tanrule cc1
--R
--R   (6)
--R             sin(a x) + cos(a x)sec(a x)        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(---------------------------) + log(-----------------------)
--R                       cos(a x)                       cos(a x) + 1
--R     + 
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 7
secrule:=rule(sec(a) == 1/cos(a))
--R
--R                     1
--R   (7)  sec(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 8
ee1:=secrule dd1
--R
--R   (8)
--R             sin(a x) + 1        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(------------) + log(-----------------------)
--R               cos(a x)                cos(a x) + 1
--R     + 
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 9
ff1:=expandLog ee1
--R
--R   (9)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) + 1)
--R     + 
--R       - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) + log(cos(a x))
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 10
gg1:=complexNormalize ff1
--R
--R         log(- 1)
--R   (10)  --------
--R             a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 11
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (11)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     + 
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 12
dd2:=tanrule cc2
--R
--R   (12)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     + 
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------)
--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 13
ee2:=expandLog dd2
--R
--R   (13)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     + 
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------))
--R                      4                      4
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 14     14:451 Schaums and Axiom differ by a constant
ff2:=complexNormalize ee2
--R
--R         log(- 1)
--R   (14)  --------
--R             a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.452~~~~~$\displaystyle
\int{\sec^2{ax}}~dx$}
$$\int{\sec^2{ax}}=
\frac{\tan{ax}}{a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 15
aa:=integrate(sec(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R         sin(a x)
--R   (1)  ----------
--R        a cos(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 16
bb:=tan(a*x)/a
--R
--R        tan(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 17
cc:=aa-bb
--R
--R        - cos(a x)tan(a x) + sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------
--R                  a cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 19     14:452 Schaums and Axiom agree
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.453~~~~~$\displaystyle
\int{\sec^3{ax}}~dx$}
$$\int{\sec^3{ax}}=
\frac{\sec{ax}\tan{ax}}{2a}+\frac{1}{2a}\ln(\sec{ax}+\tan{ax})
$$
<<*>>=
)clear all

--S 20
aa:=integrate(sec(a*x)^3,x)
--R 
--R
--R   (1)
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     + 
--R                 2    sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - cos(a x) log(-----------------------) + sin(a x)
--R                            cos(a x) + 1
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 21
bb:=(sec(a*x)*tan(a*x))/(2*a)+1/(2*a)*log(sec(a*x)+tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x) + sec(a x)) + sec(a x)tan(a x)
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                             2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 22
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2
--R       - cos(a x) log(tan(a x) + sec(a x))
--R     + 
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     + 
--R                 2    sin(a x) - cos(a x) - 1            2
--R       - cos(a x) log(-----------------------) - cos(a x) sec(a x)tan(a x)
--R                            cos(a x) + 1
--R     + 
--R       sin(a x)
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 23
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 24
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R                 2    sin(a x) + cos(a x)sec(a x)
--R       - cos(a x) log(---------------------------)
--R                                cos(a x)
--R     + 
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     + 
--R               2    sin(a x) - cos(a x) - 1
--R     - cos(a x) log(-----------------------) + (- cos(a x)sec(a x) + 1)sin(a x)
--R                          cos(a x) + 1
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 25
secrule:=rule(sec(a) == 1/cos(a))
--R
--R                     1
--R   (6)  sec(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 26
ee:=secrule dd
--R
--R   (7)
--R             sin(a x) + 1        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(------------) + log(-----------------------)
--R               cos(a x)                cos(a x) + 1
--R     + 
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 27
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) + 1)
--R     + 
--R       - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) + log(cos(a x))
--R  /
--R     2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 28     14:453 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=complexNormalize ff
--R
--R        log(- 1)
--R   (9)  --------
--R           2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.454~~~~~$\displaystyle
\int{\sec^n{ax}\tan{ax}}~dx$}
$$\int{\sec^n{ax}\tan{ax}}=
\frac{\sec^n{ax}}{na}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 29
aa:=integrate(sec(a*x)^n*tan(a*x),x)
--R
--R                    1
--R          n log(---------)
--R                        2
--R                cos(a x)
--R          ----------------
--R                  2
--R        %e
--R   (1)  ------------------
--R                a n
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 30
bb:=sec(a*x)^n/(n*a)
--R
--R                n
--R        sec(a x)
--R   (2)  ---------
--R           a n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 31
cc:=aa-bb
--R
--R                    1
--R          n log(---------)
--R                        2
--R                cos(a x)
--R          ----------------
--R                  2                  n
--R        %e                 - sec(a x)
--R   (3)  ------------------------------
--R                      a n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 32     14:454 Schaums and Axiom agree
normalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.455~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{\sec{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{\sec{ax}}}=
\frac{\sin{ax}}{a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 33
aa:=integrate(1/sec(a*x),x)
--R 
--R
--R        sin(a x)
--R   (1)  --------
--R            a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

--S 34
bb:=sin(a*x)/a
--R
--R        sin(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E 

--S 35     14:455 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.456~~~~~$\displaystyle
\int{x\sec{ax}}~dx$}
$$\int{x\sec{ax}}=
\frac{1}{a^2}\left\{\frac{(ax)^2}{2}+\frac{(ax)^4}{8}+\frac{5(ax)^6}{144}
+\cdots+\frac{E_n(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+\cdots\right\}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 36     14:456 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*sec(a*x),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %N sec(%N a)d%N
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.457~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{\sec{ax}}{x}}~dx$}
$$\int{\frac{\sec{ax}}{x}}=
\ln{x}+\frac{(ax)^2}{4}+\frac{5(ax)^4}{96}+\frac{61(ax)^6}{4320}
+\cdots+\frac{E_n(ax)^{2n}}{(2n)(2n)!}+\cdots
$$
<<*>>=
)clear all

--S 37     14:457 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sec(a*x)/x,x)
--R 
--R
--R           x
--I         ++  sec(%N a)
--I   (1)   |   --------- d%N
--I        ++       %N
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.458~~~~~$\displaystyle
\int{x\sec^2{ax}}~dx$}
$$\int{x\sec^2{ax}}=
\frac{x}{a}\tan{ax}+\frac{1}{a^2}\ln\cos{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 38
aa:=integrate(x*sec(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R   (1)
--R                       2                         2cos(a x)
--R   - cos(a x)log(------------) + cos(a x)log(- ------------) + a x sin(a x)
--R                 cos(a x) + 1                  cos(a x) + 1
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                   2
--R                                  a cos(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

--S 39
bb:=x/a*tan(a*x)+1/a^2*log(cos(a*x))
--R
--R        log(cos(a x)) + a x tan(a x)
--R   (2)  ----------------------------
--R                      2
--R                     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 40
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                   2
--R       - cos(a x)log(cos(a x)) - cos(a x)log(------------)
--R                                             cos(a x) + 1
--R     + 
--R                       2cos(a x)
--R       cos(a x)log(- ------------) - a x cos(a x)tan(a x) + a x sin(a x)
--R                     cos(a x) + 1
--R  /
--R      2
--R     a cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 41
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 42
dd:=tanrule cc
--R
--R                                    2                 2cos(a x)
--R        - log(cos(a x)) - log(------------) + log(- ------------)
--R                              cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (5)  ---------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                    a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 43     14:458 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=expandLog dd
--R
--R        - log(2) + log(- 2)
--R   (6)  -------------------
--R                  2
--R                 a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.459~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{q+p\sec{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{q+p\sec{ax}}}=
\frac{x}{q}-\frac{p}{q}\int{\frac{dx}{p+q\cos{ax}}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 44
aa:=integrate(1/(q+p*sec(a*x)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R                             +-------+
--R                             | 2    2      2    2                 +-------+
--R          (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)        | 2    2
--R    p log(------------------------------------------------) + a x\|q  - p
--R                           q cos(a x) + p
--R   [-----------------------------------------------------------------------,
--R                                     +-------+
--R                                     | 2    2
--R                                 a q\|q  - p
--R                         +---------+
--R                         |   2    2          +---------+
--R                sin(a x)\|- q  + p           |   2    2
--R    - 2p atan(-----------------------) + a x\|- q  + p
--R              (q + p)cos(a x) + q + p
--R    ----------------------------------------------------]
--R                           +---------+
--R                           |   2    2
--R                       a q\|- q  + p
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E

--S 45
t1:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2        2    2
--R        (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R    log(--------------------------------------------------)
--R                          q cos(a x) + p
--R   [-------------------------------------------------------,
--R                            +-------+
--R                            | 2    2
--R                          a\|q  - p
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R            sin(a x)\|- q  + p
--R    2atan(-----------------------)
--R          (q + p)cos(a x) + q + p
--R    ------------------------------]
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R             a\|- q  + p
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 46
bb1:=x/q-p/q*t1.1
--R
--R   (3)
--R                              +-------+
--R                              | 2    2        2    2                 +-------+
--R           (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)        | 2    2
--R   - p log(--------------------------------------------------) + a x\|q  - p
--R                             q cos(a x) + p
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                      +-------+
--R                                      | 2    2
--R                                  a q\|q  - p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 47
bb2:=x/q-p/q*t1.2
--R
--R                             +---------+
--R                             |   2    2          +---------+
--R                    sin(a x)\|- q  + p           |   2    2
--R        - 2p atan(-----------------------) + a x\|- q  + p
--R                  (q + p)cos(a x) + q + p
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                               +---------+
--R                               |   2    2
--R                           a q\|- q  + p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 48
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                                +-------+
--R                                | 2    2      2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p log(------------------------------------------------)
--R                              q cos(a x) + p
--R     + 
--R                                +-------+
--R                                | 2    2        2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       p log(--------------------------------------------------)
--R                               q cos(a x) + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a q\|q  - p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 49
cc2:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2      2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p\|- q  + p  log(------------------------------------------------)
--R                                         q cos(a x) + p
--R     + 
--R                                   +---------+
--R          +-------+                |   2    2
--R          | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                        (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 50
cc3:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2        2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       p\|- q  + p  log(--------------------------------------------------)
--R                                          q cos(a x) + p
--R     + 
--R                                     +---------+
--R            +-------+                |   2    2
--R            | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       - 2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                          (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 51     14:459 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.460~~~~~$\displaystyle
\int{\sec^n{ax}}~dx$}
$$\int{\sec^n{ax}}=
\frac{\sec^{n-2}{ax}\tan{ax}}{a(n-1)}
+\frac{n-2}{n-1}\int{\sec^{n-2}{ax}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 52     14:460 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sec(a*x)^n,x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   sec(%N a) d%N
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp81-82
\end{thebibliography}
\end{document}