\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum16.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.325~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x(x^n+a^n)}}$}
$$\int{\frac{1}{x(x^n+a^n)}}=
\frac{1}{na^n}\ln\frac{x^n}{x^n+a^n}
$$
<<*>>=
)spool schaum16.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(1/(x*(x^n+a^n)),x)
--R
--R                n log(x)    n
--R        - log(%e         + a ) + n log(x)
--R   (1)  ---------------------------------
--R                          n
--R                       n a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb:=1/(n*a^n)*log(x^n/(x^n+a^n))
--R
--R                n
--R               x
--R        log(-------)
--R             n    n
--R            x  + a
--R   (2)  ------------
--R               n
--R            n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3
cc:=aa-bb
--R
--R                                         n
--R                n log(x)    n           x
--R        - log(%e         + a ) - log(-------) + n log(x)
--R                                      n    n
--R                                     x  + a
--R   (3)  ------------------------------------------------
--R                                 n
--R                              n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 4
dd:=expandLog cc
--R
--R                n log(x)    n         n    n         n
--R        - log(%e         + a ) + log(x  + a ) - log(x ) + n log(x)
--R   (4)  ----------------------------------------------------------
--R                                      n
--R                                   n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 5      14:325 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.326~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{n-1}~dx}{x^n+a^n}}$}
$$\int{\frac{x^{n-1}}{x^n+a^n}}=
\frac{1}{n}\ln(x^n+a^n)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 8
aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n+a^n),x)
--R 
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         + a )
--R   (1)  --------------------
--R                  n
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 9
bb:=1/n*log(x^n+a^n)
--R
--R             n    n
--R        log(x  + a )
--R   (2)  ------------
--R              n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 10
cc:=aa-bb
--R
--R              n log(x)    n         n    n
--R        log(%e         + a ) - log(x  + a )
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 11
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 12     14:326 Schaums and Axiom agree
dd:=explog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.327~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^m~dx}{(x^n+a^n)^r}}$}
$$\int{\frac{x^m}{(x^n+a^n)^r}}=
\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n+a^n)^{r-1}}}
-a^n\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n+a^n)^r}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 13     14:327 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(x^n+a^n)^r,x)
--R 
--R
--R           x       m
--I         ++      %J
--I   (1)   |   ----------- d%J
--R        ++     n     n r
--I             (a  + %J )
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.328~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x^m(x^n+a^n)^r}}$}
$$\int{\frac{1}{x^m(x^n+a^n)^r}}=
\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^m(x^n+a^n)^{r-1}}}
-\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^{m-n}(x^n+a^n)^r}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 14     14:328 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^n+a^n)^r),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%J
--R        ++     m  n     n r
--I             %J (a  + %J )
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.329~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^n+a^n}}}$}
$$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^n+a^n}}}=
\frac{1}{n\sqrt{a^n}}\ln\left(\frac{\sqrt{x^n+a^n}-\sqrt{a^n}}
{\sqrt{x^n+a^n}+\sqrt{a^n}}\right)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 15
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n+a^n)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R              +---------------+                      +--+
--R            n |  n log(x)    n       n log(x)     n  | n
--R        - 2a \|%e         + a   + (%e         + 2a )\|a
--R    log(-------------------------------------------------)
--R                              n log(x)
--R                            %e
--R   [------------------------------------------------------,
--R                              +--+
--R                              | n
--R                            n\|a
--R             +----+ +---------------+
--R             |   n  |  n log(x)    n
--R            \|- a  \|%e         + a
--R      2atan(-------------------------)
--R                         n
--R                        a
--R    - --------------------------------]
--R                    +----+
--R                    |   n
--R                  n\|- a
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 16
bb:=1/(n*sqrt(a^n))*log((sqrt(x^n+a^n)-sqrt(a^n))/(sqrt(x^n+a^n)+sqrt(a^n)))
--R
--R             +-------+    +--+
--R             | n    n     | n
--R            \|x  + a   - \|a
--R        log(------------------)
--R             +-------+    +--+
--R             | n    n     | n
--R            \|x  + a   + \|a
--R   (2)  -----------------------
--R                   +--+
--R                   | n
--R                 n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 17
cc1:=aa.1-bb
--R
--R   (3)
--R                 +---------------+                      +--+
--R               n |  n log(x)    n       n log(x)     n  | n
--R           - 2a \|%e         + a   + (%e         + 2a )\|a
--R       log(-------------------------------------------------)
--R                                 n log(x)
--R                               %e
--R     + 
--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n
--R             \|x  + a   - \|a
--R       - log(------------------)
--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n
--R             \|x  + a   + \|a
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (4)
--R               +---------------+                        +--+
--R             n |  n log(x)    n         n log(x)     n  | n
--R       log(2a \|%e         + a   + (- %e         - 2a )\|a  )
--R     + 
--R            +-------+    +--+         +-------+    +--+
--R            | n    n     | n          | n    n     | n
--R       log(\|x  + a   + \|a  ) - log(\|x  + a   - \|a  ) - n log(x) + log(- 1)
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 19
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (5)  %e         == x
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 20
ee1:=explog dd1
--R
--R   (6)
--R               +-------+                +--+         +-------+    +--+
--R             n | n    n        n     n  | n          | n    n     | n
--R       log(2a \|x  + a   + (- x  - 2a )\|a  ) + log(\|x  + a   + \|a  )
--R     + 
--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n
--R       - log(\|x  + a   - \|a  ) - n log(x) + log(- 1)
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 21
ff1:=complexNormalize ee1
--R
--R        n log(a) + 4log(- 1)
--R   (7)  --------------------
--R              +----------+
--R              |  n log(a)
--R           2n\|%e
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 22     14:329 Schaums and Axiom differ by a constant
gg1:=explog ff1
--R
--R        n log(a) + 4log(- 1)
--R   (8)  --------------------
--R                  +--+
--R                  | n
--R               2n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.330~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x(x^n-a^n)}}$}
$$\int{\frac{1}{x(x^n-a^n)}}=
\frac{1}{na^n}\ln\left(\frac{x^n-a^n}{x^n}\right)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 23
aa:=integrate(1/(x*(x^n-a^n)),x)
--R 
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         - a ) - n log(x)
--R   (1)  -------------------------------
--R                         n
--R                      n a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 24
bb:=1/(n*a^n)*log((x^n-a^n)/x^n)
--R
--R             n    n
--R            x  - a
--R        log(-------)
--R                n
--R               x
--R   (2)  ------------
--R               n
--R            n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 25
cc:=aa-bb
--R
--R                                    n    n
--R              n log(x)    n        x  - a
--R        log(%e         - a ) - log(-------) - n log(x)
--R                                       n
--R                                      x
--R   (3)  ----------------------------------------------
--R                                n
--R                             n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 26
dd:=expandLog cc
--R
--R              n log(x)    n         n         n    n
--R        log(%e         - a ) + log(x ) - log(x  - a ) - n log(x)
--R   (4)  --------------------------------------------------------
--R                                     n
--R                                  n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 27
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (5)  %e         == x
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 28
ee:=explog dd
--R
--R             n
--R        log(x ) - n log(x)
--R   (6)  ------------------
--R                  n
--R               n a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 29
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (7)  log(a ) == n log(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 30     14:330 Schaums and Axiom agree
ff:=logpow ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.331~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{n-1}dx}{x^n-a^n}}$}
$$\int{\frac{x^{n-1}}{x^n-a^n}}=
\frac{1}{n}\ln(x^n-a^n)
$$
<<*>>=
)clear all

--S 31
aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n-a^n),x)
--R 
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         - a )
--R   (1)  --------------------
--R                  n
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 32
bb:=1/n*log(x^n-a^n)
--R
--R             n    n
--R        log(x  - a )
--R   (2)  ------------
--R              n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 33
cc:=aa-bb
--R
--R              n log(x)    n         n    n
--R        log(%e         - a ) - log(x  - a )
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         n
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 34
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 35     14:331 Schaums and Axiom agree
dd:=explog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

@

\section{\cite{1}:14.332~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^m~dx}{(x^n-a^n)^r}}$}
$$\int{\frac{x^m}{(x^n-a^n)^r}}=
a^n\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n-a^n)^r}}
+\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n-a^n)^{r-1}}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 36     14:332 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(x^n-a^n)^r,x)
--R 
--R
--R           x        m
--I         ++       %J
--I   (1)   |   ------------- d%J
--R        ++       n     n r
--I             (- a  + %J )
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.333~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x^m(x^n-a^n)^r}}$}
$$\int{\frac{1}{x^m(x^n-a^n)^r}}=
\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^{m-n}(x^n-a^n)^r}}
-\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^m(x^n-a^n)^{r-1}}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 37     14:333 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^n-a^n)^r),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++          1
--I   (1)   |   ---------------- d%J
--R        ++     m    n     n r
--I             %J (- a  + %J )
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E
@

\section{\cite{1}:14.334~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^n-a^n}}}$}
$$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^n-a^n}}}=
\frac{2}{n\sqrt{a^n}}\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^n}{x^n}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 38
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n-a^n)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R            +---------------+                      +----+
--R          n |  n log(x)    n       n log(x)     n  |   n
--R        2a \|%e         - a   + (%e         - 2a )\|- a
--R    log(-------------------------------------------------)
--R                              n log(x)
--R                            %e
--R   [------------------------------------------------------,
--R                             +----+
--R                             |   n
--R                           n\|- a
--R           +--+ +---------------+
--R           | n  |  n log(x)    n
--R          \|a  \|%e         - a
--R    2atan(-----------------------)
--R                      n
--R                     a
--R    ------------------------------]
--R                  +--+
--R                  | n
--R                n\|a
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 39
bb:=2/(n*sqrt(a^n))*acos(sqrt(a^n/x^n))
--R
--R               +--+
--R               | n
--R               |a
--R        2acos( |-- )
--R               | n
--R              \|x
--R   (2)  ------------
--R             +--+
--R             | n
--R           n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 40
cc1:=aa.1-bb
--R
--R   (3)
--R                    +---------------+                      +----+
--R        +--+      n |  n log(x)    n       n log(x)     n  |   n
--R        | n     2a \|%e         - a   + (%e         - 2a )\|- a
--R       \|a  log(-------------------------------------------------)
--R                                      n log(x)
--R                                    %e
--R     + 
--R                       +--+
--R           +----+      | n
--R           |   n       |a
--R       - 2\|- a  acos( |-- )
--R                       | n
--R                      \|x
--R  /
--R       +----+ +--+
--R       |   n  | n
--R     n\|- a  \|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 41     14:334 Axiom cannot simplify this expression
cc2:=aa.2-bb
--R
--R               +--+ +---------------+           +--+
--R               | n  |  n log(x)    n            | n
--R              \|a  \|%e         - a             |a
--R        2atan(-----------------------) - 2acos( |-- )
--R                          n                     | n
--R                         a                     \|x
--R   (4)  ---------------------------------------------
--R                              +--+
--R                              | n
--R                            n\|a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.335~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m}+a^{2m}}}$ provided $0<p\le 2m$}
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle\int{\frac{x^{p-1}}{x^{2m}+a^{2m}}}=
&\displaystyle\frac{1}{ma^{2m-p}}\sum_{k=1}^m{\sin\frac{(2k-1)p\pi}{2m}
\tan^{-1}\left(\frac{x+a\cos\left((2k-1)\pi/2m\right)}
{a\sin\left((2k-1)\pi/2m\right)}\right)}\\
&\\
&\displaystyle-\frac{1}{2ma^{2m-p}}\sum_{k=1}^m{\cos\frac{(2k-1)p\pi}{2m}
\ln\left(x^2+2ax\cos\frac{(2k-1)\pi}{2m}+a^2\right)}
\end{array}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 42     14:335 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)+a^(2*m)),x)
--R 
--R
--R           x     p - 1
--I         ++    %J
--I   (1)   |   ---------- d%J
--R        ++    2m     2m
--I             a   + %J
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.336~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{p-1}dx}{x^{2m}-a^{2m}}}$ provided $0<p\le 2m$}
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle
\int{\frac{x^{p-1}}{x^{2m}-a^{2m}}}=
&\displaystyle\frac{1}{2ma^{2m-p}}\sum_{k=1}^{m-1}\cos\frac{kp\pi}{m}
\ln\left(x^2-2ax\cos\frac{k\pi}{m}+a^2\right)\\
&\\
&\displaystyle-\frac{1}{ma^{2m-p}}\sum_{k=1}^{m-1}\sin\frac{kp\pi}{m}
\tan^{-1}\left(\frac{x-a\cos(k\pi/m)}{a\sin(k\pi/m)}\right)\\
&\\
&\displaystyle+\frac{1}{2ma^{2m-p}}\left(\ln(x-a)+(-1)^p\ln(x+a)\right)
\end{array}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 43     14:336 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)-a^(2*m)),x)
--R 
--R
--R           x       p - 1
--I         ++      %J
--I   (1)   |   - ---------- d%J
--R        ++      2m     2m
--I               a   - %J
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.337~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m+1}+a^{2m+1}}}$ provided $0<p\le 2m+1$}
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle\int{\frac{x^{p-1}}{x^{2m+1}+a^{2m+1}}}=&\hbox{\hskip 6.5cm}
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rl}
\hbox{\hskip 1cm}&\displaystyle
\frac{2(-1)^{p-1}}{(2m+1)a^{2m-p+1}}\sum_{k=1}^m{\sin\frac{2kp\pi}{2m+1}
\tan^{-1}\left(\frac{x+a\cos\left(2k\pi/(2m+1)\right)}
{a\sin\left(2k\pi/(2m+1)\right)}\right)}\\
&\displaystyle
-\frac{(-1)^{p-1}}{(2m+1)a^{2m-p+1}}\sum_{k=1}^m{\cos\frac{2kp\pi}{2m+1}
\ln\left(x^2+2ax\cos\frac{2k\pi}{2m+1}+a^2\right)}\\
&\\
&\displaystyle+\frac{(-1)^{p-1}\ln(x+a)}{(2m+1)a^{2m-p+1}}
\end{array}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 44     14:337 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)+a^(2*m+1)),x)
--R 
--R
--R           x         p - 1
--I         ++        %J
--I   (1)   |   ------------------ d%J
--R        ++    2m + 1     2m + 1
--I             a       + %J
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.338~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m+1}-a^{2m+1}}}$ provided $0<p\le 2m+1$}
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle\int{\frac{x^{p-1}}{x^{2m+1}-a^{2m+1}}}=&\hbox{\hskip 6cm}
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rl}
\hbox{\hskip 1cm}&\displaystyle
\frac{2}{(2m+1)a^{2m-p+1}}\sum_{k=1}^m{\sin\frac{2kp\pi}{2m+1}
\tan^{-1}\left(\frac{x-a\cos\left(2kp\pi/(2m+1)\right)}
{a\sin\left(2k\pi/(2m+1)\right)}\right)}\\
&\\
&\hbox{\hskip 1cm}\displaystyle
+\frac{1}{(2m+1)a^{2m-p+1}}\sum_{k=1}^m{\cos\frac{2kp\pi}{2m+1}
\ln\left(x^2-2ax\cos\frac{2k\pi}{2m+1}+a^2\right)}\\
&\\
&\hbox{\hskip 1cm}\displaystyle
+\frac{\ln(x-a)}{(2m+1)a^{2m-p+1}}
\end{array}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 45     14:338 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)-a^(2*m+1)),x)
--R 
--R
--R           x           p - 1
--I         ++          %J
--I   (1)   |   - ------------------ d%J
--R        ++      2m + 1     2m + 1
--I               a       - %J
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp74-75
\end{thebibliography}
\end{document}