\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum14.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.299~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+a^3}}$} $$\int{\frac{1}{x^3+a^3}}= \frac{1}{6a^2}\ln\frac{(x+a)^2}{x^2-ax+a^2} +\frac{1}{a^2\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x-a}{a\sqrt{3}} $$ <<*>>= )spool schaum14.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(x^3+a^3),x) --R --R --R +-+ --R +-+ 2 2 +-+ (2x - a)\|3 --R - \|3 log(x - a x + a ) + 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------) --R 3a --R (1) ---------------------------------------------------------------- --R 2 +-+ --R 6a \|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=1/(6*a^2)*log((x+a)^2/(x^2-a*x+a^2))+1/(a^2*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3))) --R --R 2 2 +-+ --R x + 2a x + a +-+ (2x - a)\|3 --R log(--------------) + 2\|3 atan(------------) --R 2 2 3a --R x - a x + a --R (2) --------------------------------------------- --R 2 --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 x + 2a x + a --R - log(x - a x + a ) + 2log(x + a) - log(--------------) --R 2 2 --R x - a x + a --R (3) -------------------------------------------------------- --R 2 --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 4 14:299 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.300~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{x^3+a^3}}$} $$\int{\frac{x}{x^3+a^3}}= \frac{1}{6a}\ln\frac{x^2-ax+a^2}{(x+a)^2} +\frac{1}{a\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x-a}{a\sqrt{3}} $$ <<*>>= )clear all --S 5 aa:=integrate(x/(x^3+a^3),x) --R --R --R +-+ --R +-+ 2 2 +-+ (2x - a)\|3 --R \|3 log(x - a x + a ) - 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------) --R 3a --R (1) -------------------------------------------------------------- --R +-+ --R 6a\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 6 bb:=1/(6*a)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)+1/(a*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3))) --R --R 2 2 +-+ --R x - a x + a +-+ (2x - a)\|3 --R log(--------------) + 2\|3 atan(------------) --R 2 2 3a --R x + 2a x + a --R (2) --------------------------------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 7 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 x - a x + a --R log(x - a x + a ) - 2log(x + a) - log(--------------) --R 2 2 --R x + 2a x + a --R (3) ------------------------------------------------------ --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 8 14:300 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.301~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{x^3+a^3}}$} $$\int{\frac{x^2}{x^3+a^3}}= \frac{1}{3}\ln(x^3+a^3) $$ <<*>>= )clear all --S 9 aa:=integrate(x^2/(x^3+a^3),x) --R --R --R 3 3 --R log(x + a ) --R (1) ------------ --R 3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 10 bb:=1/3*log(x^3+a^3) --R --R 3 3 --R log(x + a ) --R (2) ------------ --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 11 14:301 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.302~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^3+a^3)}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^3+a^3)}}= \frac{1}{3a^3}\ln\left(\frac{x^3}{x^3+a^3}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 12 aa:=integrate(1/(x*(x^3+a^3)),x) --R --R --R 3 3 --R - log(x + a ) + 3log(x) --R (1) ------------------------ --R 3 --R 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 13 bb:=1/(3*a^3)*log(x^3/(x^3+a^3)) --R --R 3 --R x --R log(-------) --R 3 3 --R x + a --R (2) ------------ --R 3 --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 14 cc:=aa-bb --R --R 3 --R 3 3 x --R - log(x + a ) + 3log(x) - log(-------) --R 3 3 --R x + a --R (3) --------------------------------------- --R 3 --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 15 14:302 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.303~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^3+a^3)}}~dx$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^3+a^3)}}= -\frac{1}{a^3x}-\frac{1}{6a^4}\ln\frac{x^2-ax+a^2}{(x+a)^2} -\frac{1}{a^4\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x-a}{a\sqrt{3}} $$ <<*>>= )clear all --S 15 aa:=integrate(1/(x^2*(x^3+a^3)),x) --R --R --R (1) --R +-+ --R +-+ 2 2 +-+ (2x - a)\|3 +-+ --R - x\|3 log(x - a x + a ) + 2x\|3 log(x + a) - 6x atan(------------) - 6a\|3 --R 3a --R ----------------------------------------------------------------------------- --R 4 +-+ --R 6a x\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 16 bb:=-1/(a^3*x)-1/(6*a^4)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)-1/(a^4*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3))) --R --R 2 2 +-+ --R x - a x + a +-+ (2x - a)\|3 --R - x log(--------------) - 2x\|3 atan(------------) - 6a --R 2 2 3a --R x + 2a x + a --R (2) ------------------------------------------------------- --R 4 --R 6a x --R Type: Expression Integer --E --S 17 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 x - a x + a --R - log(x - a x + a ) + 2log(x + a) + log(--------------) --R 2 2 --R x + 2a x + a --R (3) -------------------------------------------------------- --R 4 --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 18 14:303 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.304~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^3+a^3)^2}}$} $$\int{\frac{1}{(x^3+a^3)^2}}= \frac{x}{3a^3(x^3+a^3)} +\frac{1}{9a^5}\ln\frac{(x+a)^2}{x^2-ax+a^2} +\frac{2}{3a^5\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x-a}{a\sqrt{3}} $$ <<*>>= )clear all --S 19 aa:=integrate(1/(x^3+a^3)^2,x) --R --R --R (1) --R 3 3 +-+ 2 2 3 3 +-+ --R (- x - a )\|3 log(x - a x + a ) + (2x + 2a )\|3 log(x + a) --R + --R +-+ --R 3 3 (2x - a)\|3 2 +-+ --R (6x + 6a )atan(------------) + 3a x\|3 --R 3a --R / --R 5 3 8 +-+ --R (9a x + 9a )\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 20 bb:=x/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(9*a^5)*log((x+a)^2/(x^2-a*x+a^2))+2/(3*a^5*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3))) --R --R (2) --R 2 2 +-+ --R 3 3 x + 2a x + a 3 3 +-+ (2x - a)\|3 2 --R (x + a )log(--------------) + (2x + 2a )\|3 atan(------------) + 3a x --R 2 2 3a --R x - a x + a --R ----------------------------------------------------------------------- --R 5 3 8 --R 9a x + 9a --R Type: Expression Integer --E --S 21 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 x + 2a x + a --R - log(x - a x + a ) + 2log(x + a) - log(--------------) --R 2 2 --R x - a x + a --R (3) -------------------------------------------------------- --R 5 --R 9a --R Type: Expression Integer --E --S 22 14:304 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.305~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(x^3+a^3)^2}}$} $$\int{\frac{x}{(x^3+a^3)^2}}= \frac{x^2}{3a^3(x^3+a^3)} +\frac{1}{18a^4}\ln\frac{x^2-ax+a^2}{(x+a)^2} +\frac{1}{3a^4\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x-a}{a\sqrt{3}} $$ <<*>>= )clear all --S 23 aa:=integrate(x/(x^3+a^3)^2,x) --R --R --R (1) --R 3 3 +-+ 2 2 3 3 +-+ --R (x + a )\|3 log(x - a x + a ) + (- 2x - 2a )\|3 log(x + a) --R + --R +-+ --R 3 3 (2x - a)\|3 2 +-+ --R (6x + 6a )atan(------------) + 6a x \|3 --R 3a --R / --R 4 3 7 +-+ --R (18a x + 18a )\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 24 bb:=x^2/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(18*a^4)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)+1/(3*a^4*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3))) --R --R (2) --R 2 2 +-+ --R 3 3 x - a x + a 3 3 +-+ (2x - a)\|3 2 --R (x + a )log(--------------) + (2x + 2a )\|3 atan(------------) + 6a x --R 2 2 3a --R x + 2a x + a --R ------------------------------------------------------------------------ --R 4 3 7 --R 18a x + 18a --R Type: Expression Integer --E --S 25 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 x - a x + a --R log(x - a x + a ) - 2log(x + a) - log(--------------) --R 2 2 --R x + 2a x + a --R (3) ------------------------------------------------------ --R 4 --R 18a --R Type: Expression Integer --E --S 26 14:305 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.306~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{(x^3+a^3)^2}}$} $$\int{\frac{x^2}{(x^3+a^3)^2}}= -\frac{1}{3(x^3+a^3)} $$ <<*>>= )clear all --S 27 aa:=integrate(x^2/(x^3+a^3)^2,x) --R --R --R 1 --R (1) - --------- --R 3 3 --R 3x + 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 28 bb:=-1/(3*(x^3+a^3)) --R --R 1 --R (2) - --------- --R 3 3 --R 3x + 3a --R Type: Fraction Polynomial Integer --E --S 29 14:306 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.307~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^3+a^3)^2}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^3+a^3)^2}}= \frac{1}{3a^3(x^3+a^3)}+\frac{1}{3a^6}\ln\left(\frac{x^3}{x^3+a^3}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 30 aa:=integrate(1/(x*(x^3+a^3)^2),x) --R --R --R 3 3 3 3 3 3 3 --R (- x - a )log(x + a ) + (3x + 3a )log(x) + a --R (1) ------------------------------------------------ --R 6 3 9 --R 3a x + 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 31 bb:=1/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(3*a^6)*log(x^3/(x^3+a^3)) --R --R 3 --R 3 3 x 3 --R (x + a )log(-------) + a --R 3 3 --R x + a --R (2) -------------------------- --R 6 3 9 --R 3a x + 3a --R Type: Expression Integer --E --S 32 cc:=aa-bb --R --R 3 --R 3 3 x --R - log(x + a ) + 3log(x) - log(-------) --R 3 3 --R x + a --R (3) --------------------------------------- --R 6 --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 33 14:307 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.308~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^3+a^3)^2}}~dx$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^3+a^3)^2}}= -\frac{1}{a^6x}-\frac{x^2}{3a^6(x^3+a^3)} -\frac{4}{3a^6}\int{\frac{x}{x^3+a^3}} $$ <<*>>= )clear all --S 34 aa:=integrate(1/(x^2*(x^3+a^3)^2),x) --R --R --R (1) --R 4 3 +-+ 2 2 4 3 +-+ --R (- 2x - 2a x)\|3 log(x - a x + a ) + (4x + 4a x)\|3 log(x + a) --R + --R +-+ --R 4 3 (2x - a)\|3 3 4 +-+ --R (- 12x - 12a x)atan(------------) + (- 12a x - 9a )\|3 --R 3a --R / --R 7 4 10 +-+ --R (9a x + 9a x)\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 35 t1:=integrate(x/(x^3+a^3),x) --R --R +-+ --R +-+ 2 2 +-+ (2x - a)\|3 --R \|3 log(x - a x + a ) - 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------) --R 3a --R (2) -------------------------------------------------------------- --R +-+ --R 6a\|3 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 36 bb:=-1/(a^6*x)-x^2/(3*a^6*(x^3+a^3))-4/(3*a^6)*t1 --R --R (3) --R 4 3 +-+ 2 2 4 3 +-+ --R (- 2x - 2a x)\|3 log(x - a x + a ) + (4x + 4a x)\|3 log(x + a) --R + --R +-+ --R 4 3 (2x - a)\|3 3 4 +-+ --R (- 12x - 12a x)atan(------------) + (- 12a x - 9a )\|3 --R 3a --R / --R 7 4 10 +-+ --R (9a x + 9a x)\|3 --R Type: Expression Integer --E --S 37 14:308 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.309~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^m~dx}{x^3+a^3}}$} $$\int{\frac{x^m}{x^3+a^3}}= \frac{x^{m-2}}{m-2}-a^3\int{\frac{x^{m-3}}{x^3+a^3}} $$ <<*>>= )clear all --S 38 14:309 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m/(x^3+a^3),x) --R --R --R x m --I ++ %L --I (1) | -------- d%L --R ++ 3 3 --I a + %L --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.310~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^n(x^3+a^3)}}$} $$\int{\frac{1}{x^n(x^3+a^3)}}= \frac{-1}{a^3(n-1)x^{n-1}}-\frac{1}{a^3}\int{\frac{1}{x^{n-3}(x^3+a^3)}} $$ <<*>>= )clear all --S 39 14:310 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x^n*(x^3+a^3)),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ------------- d%L --R ++ 3 3 n --I (a + %L )%L --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p73 \end{thebibliography} \end{document}