\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum13.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.280~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}$} $$\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left(2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}+2ax+b\right)\\ \\ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{-a}}\sin{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}\right)\\ \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\sinh^{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )spool schaum13.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (1) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - 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\|- a \|c 2a x + b --R - 2atan(------------------------------------) - asin(--------------) --R a x +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R (8) -------------------------------------------------------------------- --R +---+ --R \|- a --R Type: Expression Integer --E --S 9 cc5:=bb3-aa.1 --R --R (9) --R - --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2a x + b --R asinh(------------) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +-+ --R \|a --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc6:=bb3-aa.2 --R --R (10) --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R +-+ \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c +---+ 2a x + b --R - 2\|a atan(------------------------------------) + \|- a asinh(------------) --R a x +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R ----------------------------------------------------------------------------- --R +---+ +-+ --R \|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 11 dd1:=simplifyLog cc1 --R --R (11) --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R ((4a x + 2b)\|c + (- 2b x - 4c)\|a )\|a x + b x + c --R + --R 2 +-+ +-+ 2 2 --R (4a x + 4b x + 4c)\|a \|c - 2a b x + (- 4a c - b )x - 2b c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +-+ --R \|a --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:280 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=ratDenom dd1 --R --R +-+ +-+ --R +-+ - 2a\|c + b\|a --R \|a log(----------------) --R a --R (12) ------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.281~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}$} $$\int{\frac{x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}= \frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{a}-\frac{b}{2a}\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} $$ <<*>>= )clear all --S 11 aa:=integrate(x/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (1) --R [ --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (2b\|c \|a x + b x + c - b x - 2b c) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - 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b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 13 bb1:=sqrt(a*x^2+b*x+c)/a-b/(2*a)*t1.1 --R --R (3) --R - --R b --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|a \|a x + b x + c --R / --R +-+ --R 2a\|a --R Type: Expression Integer --E --S 14 bb2:=sqrt(a*x^2+b*x+c)/a-b/(2*a)*t1.2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ +--------------+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c +---+ | 2 --R - b atan(------------------------------------) + \|- a \|a x + b x + c --R a x --R ------------------------------------------------------------------------ --R +---+ --R a\|- a --R Type: Expression Integer --E --S 15 cc1:=bb1-aa.1 --R --R (5) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 2b\|c \|a x + b x + c + b x + 2b c) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 2b\|c \|a x + b x + c + b x + 2b c) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ +-+ --R - 4c\|a \|a x + b x + c + (2b x + 4c)\|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R 4a\|a \|c \|a x + b x + c + (- 2a b x - 4a c)\|a --R Type: Expression Integer --E --S 16 cc2:=bb1-aa.2 --R --R (6) --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 2 +---+ --R (- 2b\|- a \|c \|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|- a ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - 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12b )x + 32a c - 24b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (- 16a c + 8a b c + 3b )x + (- 32a b c + 24b c)x - 32a c + 24b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 2 3 3 2 2 2 +-+ --R ((- 16a c - 4a b )x + (- 8a b c + 6b )x + (- 32a c + 24b c)x)\|a --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 2 3 3 2 --R 16a b x + (32a c - 8a b )x + (24a b c - 18b )x --R + --R 2 2 --R (32a c - 24b c)x --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|a --R , --R --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ | 2 --R ((- 16a b c + 12b )x - 32a c + 24b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (16a c - 8a b c - 3b )x + (32a b c - 24b c)x + 32a c - 24b c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 2 2 3 3 2 2 2 +---+ --R ((- 8a c - 2a b )x + (- 4a b c + 3b )x + (- 16a c + 12b c)x)\|- a --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 2 3 3 2 2 2 --R (8a b x + (16a c - 4a b )x + (12a b c - 9b )x + (16a c - 12b c)x) --R * --R +---+ +-+ --R \|- a \|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (16a b x + 32a c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ --R ((- 16a c - 4a b )x - 32a b c x - 32a c )\|- a --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 20 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 21 bb1:=(2*a*x-3*b)/(4*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+(3*b^2-4*a*c)/(8*a^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 --R (- 4a c + 3b ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R (4a x - 6b)\|a \|a x + b x + c --R / --R 2 +-+ --R 8a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 22 bb2:=(2*a*x-3*b)/(4*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+(3*b^2-4*a*c)/(8*a^2)*t1.2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R 2 \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R (- 4a c + 3b )atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 --R (2a x - 3b)\|- a \|a x + b x + c --R / --R 2 +---+ --R 4a \|- a --R Type: Expression Integer --E --S 23 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ | 2 --R ((16a b c - 12b )x + 32a c - 24b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (- 16a c + 8a b c + 3b )x + (- 32a b c + 24b c)x - 32a c + 24b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ | 2 --R ((16a b c - 12b )x + 32a c - 24b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (- 16a c + 8a b c + 3b )x + (- 32a b c + 24b c)x - 32a c + 24b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 2 2 +-+ | 2 --R (- 24b c x - 48b c )\|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ +-+ --R ((24a b c + 6b )x + 48b c x + 48b c )\|a \|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|a --R Type: Expression Integer --E --S 24 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +--------------+ --R 3 2 2 +---+ +-+ | 2 --R ((16a b c - 12b )x + 32a c - 24b c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 --R (- 16a c + 8a b c + 3b )x + (- 32a b c + 24b c)x - 32a c --R + --R 2 2 --R 24b c --R * --R +---+ --R \|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ +-+ | 2 --R ((- 32a b c + 24b )x - 64a c + 48b c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 --R (32a c - 16a b c - 6b )x + (64a b c - 48b c)x + 64a c --R + --R 2 2 --R - 48b c --R * --R +-+ --R \|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (- 24b c x - 48b c )\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((24a b c + 6b )x + 48b c x + 48b c )\|- a \|a \|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 25 cc3:=aa.2-bb1 --R --R (7) --R +--------------+ --R 3 2 2 +---+ +-+ | 2 --R ((16a b c - 12b )x + 32a c - 24b c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 --R (- 16a c + 8a b c + 3b )x + (- 32a b c + 24b c)x - 32a c --R + --R 2 2 --R 24b c --R * --R +---+ --R \|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ +-+ | 2 --R ((- 32a b c + 24b )x - 64a c + 48b c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 3 3 --R (32a c - 16a b c - 6b )x + (64a b c - 48b c)x + 64a c --R + --R 2 2 --R - 48b c --R * --R +-+ --R \|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (- 24b c x - 48b c )\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((24a b c + 6b )x + 48b c x + 48b c )\|- a \|a \|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 26 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) --R +--------------+ --R 2 2 | 2 --R (- 12b c x - 24b c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R ((12a b c + 3b )x + 24b c x + 24b c )\|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 +-+ | 2 3 2 2 2 2 --R (16a b x + 32a c)\|c \|a x + b x + c + (- 16a c - 4a b )x - 32a b c x --R + --R 2 2 --R - 32a c --R Type: Expression Integer --E --S 27 14:282 Schaums and Axiom differ by a constant dd4:=ratDenom cc4 --R --R +-+ --R 3b\|c --R (9) - ------ --R 2 --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.283~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{c}} \ln\left(\frac{2\sqrt{c}{\sqrt{ax^2+bx+c}}+bx+2c}{x}\right)\\ \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{-c}}\sin^{-1}\left(\frac{bx+2c}{|x|\sqrt{b^2-4ac}}\right)\\ \\ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{c}}\sinh^{-1}\left(\frac{bx+2c}{|x|\sqrt{4ac-b^2}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 27 aa:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (1) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 28 bb1:=-1/sqrt(c)*log((2*sqrt(c)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+b*x+2*c)/x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c + b x + 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (2) - -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 29 bb2:=1/sqrt(-c)*asin((b*x+2*c)/(x*sqrt(b^2-4*a*c))) --R --R b x + 2c --R asin(---------------) --R +-----------+ --R | 2 --R x\|- 4a c + b --R (3) --------------------- --R +---+ --R \|- c --R Type: Expression Integer --E --S 30 bb3:=-1/sqrt(c)*asinh((b*x+2*c)/(x*sqrt(4*a*c-b^2))) --R --R b x + 2c --R asinh(-------------) --R +---------+ --R | 2 --R x\|4a c - b --R (4) - -------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 31 cc1:=aa-bb1 --R --R (5) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c + b x + 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R / --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 32 cc2:=aa-bb2 --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c +-+ b x + 2c --R \|- c log(---------------------------------) - \|c asin(---------------) --R x +-----------+ --R | 2 --R x\|- 4a c + b --R ------------------------------------------------------------------------ --R +---+ +-+ --R \|- c \|c --R Type: Expression Integer --E --S 33 cc3:=aa-bb3 --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c b x + 2c --R log(---------------------------------) + asinh(-------------) --R x +---------+ --R | 2 --R x\|4a c - b --R (7) ------------------------------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 34 dd1:=expandLog cc1 --R --R (8) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R log(2\|c \|a x + b x + c + b x + 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) - 2log(x) --R / --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 35 ee1:=ratDenom dd1 --R --R (9) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|c log(2\|c \|a x + b x + c + b x + 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R \|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) - 2log(x)\|c --R / --R c --R Type: Expression Integer --E --S 36 14:283 Schaums and Axiom differ by a constant ff1:=complexNormalize ee1 --R --R 2 +-+ --R log(4a c - b )\|c --R (10) ------------------ --R c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.284~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2\sqrt{ax^2+bx+c}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2\sqrt{ax^2+bx+c}}}= -\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{cx}-\frac{b}{2c}\int{\frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}} $$ <<*>>= )clear all --S 37 aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R (1) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (- 4b x\|c \|a x + b x + c + 2b x + 4b c x) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 2 --R (2b x + 8c)\|c \|a x + b x + c + (- 8a c + b )x - 6b c x - 8c --R / --R +--------------+ --R 2 | 2 2 2 +-+ --R 8c x\|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c x)\|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 38 t1:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (2) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 39 bb:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/(c*x)-b/(2*c)*t1 --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 +--------------+ --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c +-+ | 2 --R - b x log(---------------------------------) - 2\|c \|a x + b x + c --R x --R (3) --------------------------------------------------------------------- --R +-+ --R 2c x\|c --R Type: Expression Integer --E --S 40 cc:=aa-bb --R --R (4) --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R (4b c\|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R (- 4b c\|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R - 2b c\|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|c --R / --R +--------------+ --R 2 +-+ | 2 2 3 --R 8c \|c \|a x + b x + c - 4b c x - 8c --R Type: Expression Integer --E --S 41 dd:=expandLog cc --R --R (5) --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R (4b c\|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R (- 4b c\|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) --R + --R +--------------+ --R | 2 --R (4b c log(c) + 4b c log(2) - 2b c)\|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +-+ --R ((- 2b x - 4b c)log(c) + (- 2b x - 4b c)log(2) + b x + 2b c)\|c --R / --R +--------------+ --R 2 +-+ | 2 2 3 --R 8c \|c \|a x + b x + c - 4b c x - 8c --R Type: Expression Integer --E --S 42 ee:=ratDenom dd --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R 2b\|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ --R - 2b\|c log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) --R + --R +-+ --R (2b log(c) + 2b log(2) - b)\|c --R / --R 2 --R 4c --R Type: Expression Integer --E --S 43 14:284 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R +-+ --R (b log(c) + 2b log(2) - b)\|c --R (7) ------------------------------ --R 2 --R 4c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.285~~~~~$\displaystyle \int{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx$} $$\int{\sqrt{ax^2+bx+c}}= \frac{(2ax+b)\sqrt{ax^2+bx+c}}{4a}+ \frac{4ac-b^2}{8a}\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} $$ <<*>>= )clear all --S 44 aa:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (1) --R [ --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ | 2 --R ((16a b c - 4b )x + 32a c - 8b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (- 16a c + b )x + (- 32a b c + 8b c)x - 32a c + 8b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 2 3 3 2 2 2 +-+ --R ((- 16a c - 4a b )x + (- 40a b c - 2b )x + (- 32a c - 8b c)x)\|a --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 2 3 3 2 --R 16a b x + (32a c + 24a b )x + (56a b c + 6b )x --R + --R 2 2 --R (32a c + 8b c)x --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 2 +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|a --R , --R --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ | 2 --R ((16a b c - 4b )x + 32a c - 8b c)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 --R (- 16a c + b )x + (- 32a b c + 8b c)x - 32a c + 8b c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 2 2 3 3 2 2 2 +---+ --R ((- 8a c - 2a b )x + (- 20a b c - b )x + (- 16a c - 4b c)x)\|- a --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 2 3 3 2 2 2 --R (8a b x + (16a c + 12a b )x + (28a b c + 3b )x + (16a c + 4b c)x) --R * --R +---+ +-+ --R \|- a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R (16a b x + 32a c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 2 +---+ --R ((- 16a c - 4a b )x - 32a b c x - 32a c )\|- a --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 45 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 46 bb1:=((2*a*x+b)*sqrt(a*x^2+b*x+c))/(4*a)+(4*a*c-b^2)/(8*a)*t1.1 --R --R (3) --R 2 --R (4a c - b ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R (4a x + 2b)\|a \|a x + b x + c --R / --R +-+ --R 8a\|a --R Type: Expression Integer --E --S 47 bb2:=((2*a*x+b)*sqrt(a*x^2+b*x+c))/(4*a)+(4*a*c-b^2)/(8*a)*t1.2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R 2 \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R (4a c - b )atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 --R (2a x + b)\|- a \|a x + b x + c --R / --R +---+ --R 4a\|- a --R Type: Expression Integer --E --S 48 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R +--------------+ --R 2 2 | 2 --R (4b c x + 8b c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R ((- 4a b c - b )x - 8b c x - 8b c )\|c --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 2 --R (16a b x + 32a c)\|c \|a x + b x + c + (- 16a c - 4a b )x - 32a b c x --R + --R 2 --R - 32a c --R Type: Expression Integer --E --S 49 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +--------------+ --R 3 2 2 +---+ +-+ | 2 --R ((- 16a b c + 4b )x - 32a c + 8b c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 +---+ --R ((16a c - b )x + (32a b c - 8b c)x + 32a c - 8b c )\|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ +-+ | 2 --R ((32a b c - 8b )x + 64a c - 16b c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 +-+ --R ((- 32a c + 2b )x + (- 64a b c + 16b c)x - 64a c + 16b c )\|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (8b c x + 16b c )\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((- 8a b c - 2b )x - 16b c x - 16b c )\|- a \|a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 2 +---+ +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 50 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +--------------+ --R 3 2 2 +---+ +-+ | 2 --R ((16a b c - 4b )x + 32a c - 8b c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 +---+ --R ((- 16a c + b )x + (- 32a b c + 8b c)x - 32a c + 8b c )\|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 +-+ +-+ | 2 --R ((- 32a b c + 8b )x - 64a c + 16b c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 2 2 3 3 2 2 +-+ --R ((32a c - 2b )x + (64a b c - 16b c)x + 64a c - 16b c )\|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (8b c x + 16b c )\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((- 8a b c - 2b )x - 16b c x - 16b c )\|- a \|a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 --R (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 2 +---+ +-+ --R ((- 32a c - 8a b )x - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 51 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) --R +--------------+ --R 2 2 | 2 --R (4b c x + 8b c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R ((- 4a b c - b )x - 8b c x - 8b c )\|c --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 2 --R (16a b x + 32a c)\|c \|a x + b x + c + (- 16a c - 4a b )x - 32a b c x --R + --R 2 --R - 32a c --R Type: Expression Integer --E --S 52 14:285 Schaums and Axiom differ by a constant dd4:=ratDenom cc4 --R --R +-+ --R b\|c --R (9) ----- --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.286~~~~~$\displaystyle \int{x\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx$} $$ \begin{array}{rl} \displaystyle \int{x\sqrt{ax^2+bx+c}}=&\displaystyle\frac{(ax^2+bx+c)^{3/2}}{3a}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{b(2ax+b)}{8a^2}\sqrt{ax^2+bx+c}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{b(4ac-b^2)}{16a^2}\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 53 aa:=integrate(x*sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 2 3 5 2 2 2 4 --R (96a b c + 48a b c - 18b )x + (384a b c - 96b c)x --R + --R 3 3 2 --R 384a b c - 96b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 --R (- 144a b c + 24a b c + 3b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 2 3 4 2 --R (- 288a b c - 144a b c + 54b c)x + (- 576a b c + 144b c )x --R + --R 4 3 3 --R - 384a b c + 96b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 3 2 3 5 3 2 2 2 4 4 --R (- 192a b c - 16a b )x + (- 384a c - 336a b c - 4a b )x --R + --R 2 2 3 5 3 --R (- 1056a b c - 16a b c + 6b )x --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 --R (- 768a c - 288a b c + 72b c)x + (- 384a b c + 96b c )x --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|a x + b x + c --R + --R 4 3 2 6 3 2 3 5 --R (128a c + 96a b )x + (672a b c + 120a b )x --R + --R 3 2 2 2 4 4 2 2 3 5 3 --R (768a c + 816a b c - 12a b )x + (1632a b c + 64a b c - 30b )x --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 --R (768a c + 480a b c - 120b c)x + (384a b c - 96b c )x --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R 3 2 2 2 2 2 2 +-+ +-+ --R ((384a c + 288a b )x + 1536a b c x + 1536a c )\|a \|c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 --R (- 576a b c - 48a b )x + (- 1152a c - 864a b c)x - 2304a b c x --R + --R 2 3 --R - 1536a c --R * --R +-+ --R \|a --R , --R --R 2 2 3 5 2 2 2 4 --R (- 96a b c - 48a b c + 18b )x + (- 384a b c + 96b c)x --R + --R 3 3 2 --R - 384a b c + 96b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 2 3 3 2 5 2 --R (144a b c - 24a b c - 3b )x + (288a b c + 144a b c - 54b c)x --R + --R 2 3 4 2 4 3 3 --R (576a b c - 144b c )x + 384a b c - 96b c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 3 2 3 5 3 2 2 2 4 4 --R (- 96a b c - 8a b )x + (- 192a c - 168a b c - 2a b )x --R + --R 2 2 3 5 3 2 3 2 2 4 2 --R (- 528a b c - 8a b c + 3b )x + (- 384a c - 144a b c + 36b c)x --R + --R 3 3 2 --R (- 192a b c + 48b c )x --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 --R \|- a \|a x + b x + c --R + --R 4 3 2 6 3 2 3 5 --R (64a c + 48a b )x + (336a b c + 60a b )x --R + --R 3 2 2 2 4 4 2 2 3 5 3 --R (384a c + 408a b c - 6a b )x + (816a b c + 32a b c - 15b )x --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 --R (384a c + 240a b c - 60b c)x + (192a b c - 48b c )x --R * --R +---+ +-+ --R \|- a \|c --R / --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ +-+ --R ((192a c + 144a b )x + 768a b c x + 768a c )\|- a \|c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 --R (- 288a b c - 24a b )x + (- 576a c - 432a b c)x - 1152a b c x --R + --R 2 3 --R - 768a c --R * --R +---+ --R \|- a --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 54 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 55 bb1:=(a*x^2+b*x+c)^(3/2)/(3*a)-(b*(2*a*x+b))/(8*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)-(b*(4*a*c-b^2))/(16*a^2)*t1.1 --R --R (3) --R 3 --R (- 12a b c + 3b ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 2 2 2 +-+ | 2 --R (16a x + 4a b x + 16a c - 6b )\|a \|a x + b x + c --R / --R 2 +-+ --R 48a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 56 bb2:=(a*x^2+b*x+c)^(3/2)/(3*a)-(b*(2*a*x+b))/(8*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)-(b*(4*a*c-b^2))/(16*a^2)*t1.2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R 3 \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R (- 12a b c + 3b )atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R 2 2 2 +---+ | 2 --R (8a x + 2a b x + 8a c - 3b )\|- a \|a x + b x + c --R / --R 2 +---+ --R 24a \|- a --R Type: Expression Integer --E --S 57 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R 2 2 3 5 2 2 2 4 3 --R (96a b c + 48a b c - 18b )x + (384a b c - 96b c)x + 384a b c --R + --R 3 2 --R - 96b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 2 3 3 2 5 2 --R (- 144a b c + 24a b c + 3b )x + (- 288a b c - 144a b c + 54b c)x --R + --R 2 3 4 2 4 3 3 --R (- 576a b c + 144b c )x - 384a b c + 96b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 2 3 5 2 2 2 4 3 --R (96a b c + 48a b c - 18b )x + (384a b c - 96b c)x + 384a b c --R + --R 3 2 --R - 96b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 2 3 3 2 5 2 --R (- 144a b c + 24a b c + 3b )x + (- 288a b c - 144a b c + 54b c)x --R + --R 2 3 4 2 4 3 3 --R (- 576a b c + 144b c )x - 384a b c + 96b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 4 --R (128a c + 48a b c - 36b c)x + (512a b c - 192b c )x + 512a c --R + --R 2 3 --R - 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 5 3 2 3 2 2 4 2 --R (- 192a b c + 56a b c + 6b )x + (- 384a c - 144a b c + 108b c)x --R + --R 3 3 2 4 2 3 --R (- 768a b c + 288b c )x - 512a c + 192b c --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R +--------------+ --R 3 2 2 2 2 2 2 +-+ +-+ | 2 --R ((384a c + 288a b )x + 1536a b c x + 1536a c )\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 --R (- 576a b c - 48a b )x + (- 1152a c - 864a b c)x - 2304a b c x --R + --R 2 3 --R - 1536a c --R * --R +-+ --R \|a --R Type: Expression Integer --E --S 58 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R 2 2 3 5 2 2 2 4 3 --R (96a b c + 48a b c - 18b )x + (384a b c - 96b c)x + 384a b c --R + --R 3 2 --R - 96b c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 --R (- 144a b c + 24a b c + 3b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 2 3 4 2 --R (- 288a b c - 144a b c + 54b c)x + (- 576a b c + 144b c )x --R + --R 4 3 3 --R - 384a b c + 96b c --R * --R +---+ --R \|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 2 3 5 2 2 2 4 --R (- 192a b c - 96a b c + 36b )x + (- 768a b c + 192b c)x --R + --R 3 3 2 --R - 768a b c + 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 --R (288a b c - 48a b c - 6b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 2 3 4 2 --R (576a b c + 288a b c - 108b c)x + (1152a b c - 288b c )x --R + --R 4 3 3 --R 768a b c - 192b c --R * --R +-+ --R \|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 4 --R (128a c + 48a b c - 36b c)x + (512a b c - 192b c )x + 512a c --R + --R 2 3 --R - 192b c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 5 3 2 3 2 2 4 2 --R (- 192a b c + 56a b c + 6b )x + (- 384a c - 144a b c + 108b c)x --R + --R 3 3 2 4 2 3 --R (- 768a b c + 288b c )x - 512a c + 192b c --R * --R +---+ +-+ +-+ --R \|- a \|a \|c --R / --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((384a c + 288a b )x + 1536a b c x + 1536a c )\|- a \|a \|c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 --R (- 576a b c - 48a b )x + (- 1152a c - 864a b c)x - 2304a b c x --R + --R 2 3 --R - 1536a c --R * --R +---+ +-+ --R \|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 59 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R 2 2 3 5 2 2 2 4 3 --R (96a b c + 48a b c - 18b )x + (384a b c - 96b c)x + 384a b c --R + --R 3 2 --R - 96b c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 --R (- 144a b c + 24a b c + 3b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 2 3 4 2 --R (- 288a b c - 144a b c + 54b c)x + (- 576a b c + 144b c )x --R + --R 4 3 3 --R - 384a b c + 96b c --R * --R +---+ --R \|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 2 3 5 2 2 2 4 --R (192a b c + 96a b c - 36b )x + (768a b c - 192b c)x --R + --R 3 3 2 --R 768a b c - 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 6 3 --R (- 288a b c + 48a b c + 6b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 2 3 4 2 --R (- 576a b c - 288a b c + 108b c)x + (- 1152a b c + 288b c )x --R + --R 4 3 3 --R - 768a b c + 192b c --R * --R +-+ --R \|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 4 --R (128a c + 48a b c - 36b c)x + (512a b c - 192b c )x + 512a c --R + --R 2 3 --R - 192b c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 5 3 2 3 2 2 4 2 --R (- 192a b c + 56a b c + 6b )x + (- 384a c - 144a b c + 108b c)x --R + --R 3 3 2 4 2 3 --R (- 768a b c + 288b c )x - 512a c + 192b c --R * --R +---+ +-+ +-+ --R \|- a \|a \|c --R / --R 3 2 2 2 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((384a c + 288a b )x + 1536a b c x + 1536a c )\|- a \|a \|c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 --R (- 576a b c - 48a b )x + (- 1152a c - 864a b c)x - 2304a b c x --R + --R 2 3 --R - 1536a c --R * --R +---+ +-+ --R \|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 60 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) --R 2 3 2 2 4 2 3 3 2 4 --R (64a c + 24a b c - 18b c)x + (256a b c - 96b c )x + 256a c --R + --R 2 3 --R - 96b c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 5 3 2 3 2 2 4 2 --R (- 96a b c + 28a b c + 3b )x + (- 192a c - 72a b c + 54b c)x --R + --R 3 3 2 4 2 3 --R (- 384a b c + 144b c )x - 256a c + 96b c --R * --R +-+ --R \|c --R / --R +--------------+ --R 3 2 2 2 2 2 2 +-+ | 2 --R ((192a c + 144a b )x + 768a b c x + 768a c )\|c \|a x + b x + c --R + --R 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 --R (- 288a b c - 24a b )x + (- 576a c - 432a b c)x - 1152a b c x - 768a c --R Type: Expression Integer --E --S 61 14:286 Schaums and Axiom differ by a constant dd4:=ratDenom cc4 --R --R 2 +-+ --R (8a c - 3b )\|c --R (9) ---------------- --R 2 --R 24a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.287~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx$} $$\int{x^2\sqrt{ax^2+bx+c}}= \frac{6ax-5b}{24a^2}(ax^2+bx+c)^{3/2}+ \frac{5b^2-4ac}{16a^2}\int{\sqrt{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 62 aa:=integrate(x^2*sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (1) --R [ --R 3 3 2 3 2 5 7 3 --R (1536a b c - 1920a b c - 96a b c + 120b )x --R + --R 3 4 2 2 3 4 2 6 2 --R (3072a c - 768a b c - 4800a b c + 1200b c)x --R + --R 2 4 3 3 5 2 2 5 2 4 --R (9216a b c - 13824a b c + 2880b c )x + 6144a c - 9216a b c --R + --R 4 3 --R 1920b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 4 4 2 4 2 6 8 4 --R (- 768a c + 1440a b c - 288a b c - 15b )x --R + --R 3 4 2 3 3 5 2 7 3 --R (- 6144a b c + 7680a b c + 384a b c - 480b c)x --R + --R 3 5 2 2 4 4 3 6 2 2 --R (- 6144a c + 1536a b c + 9600a b c - 2400b c )x --R + --R 2 5 3 4 5 3 2 6 2 5 --R (- 12288a b c + 18432a b c - 3840b c )x - 6144a c + 9216a b c --R + --R 4 4 --R - 1920b c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 5 2 4 2 3 4 7 --R (- 1536a c - 2304a b c - 96a b )x --R + --R 4 2 3 3 2 5 6 --R (- 12544a b c - 3456a b c - 16a b )x --R + --R 4 3 3 2 2 2 4 6 5 --R (- 13056a c - 18240a b c - 80a b c + 20a b )x --R + --R 3 3 2 3 2 5 7 4 --R (- 31104a b c + 480a b c + 24a b c - 30b )x --R + --R 3 4 2 2 3 4 2 6 3 --R (- 18432a c + 768a b c + 2816a b c - 720b c)x --R + --R 2 4 3 3 5 2 2 --R (- 7680a b c + 11520a b c - 2400b c )x --R + --R 2 5 2 4 4 3 --R (- 6144a c + 9216a b c - 1920b c )x --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|a x + b x + c --R + --R 5 4 3 8 5 2 4 2 3 4 7 --R (3072a b c + 768a b )x + (6144a c + 11264a b c + 896a b )x --R + --R 4 2 3 3 2 5 6 --R (30208a b c + 9984a b c - 32a b )x --R + --R 4 3 3 2 2 2 4 6 5 --R (21504a c + 31488a b c - 320a b c + 80a b )x --R + --R 3 3 2 3 2 5 7 4 --R (42624a b c - 4896a b c + 152a b c + 210b )x --R + --R 3 4 2 2 3 4 2 6 3 --R (21504a c - 2304a b c - 6464a b c + 1680b c)x --R + --R 2 4 3 3 5 2 2 --R (10752a b c - 16128a b c + 3360b c )x --R + --R 2 5 2 4 4 3 --R (6144a c - 9216a b c + 1920b c )x --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R 4 3 3 3 4 2 3 2 2 --R (12288a b c + 3072a b )x + (24576a c + 30720a b c)x --R + --R 3 2 3 3 --R 73728a b c x + 49152a c --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 5 2 4 2 3 4 4 --R (- 6144a c - 9216a b c - 384a b )x --R + --R 4 2 3 3 3 4 3 3 2 2 2 --R (- 49152a b c - 12288a b c)x + (- 49152a c - 61440a b c )x --R + --R 3 3 3 4 --R - 98304a b c x - 49152a c --R * --R +-+ --R \|a --R , --R --R 3 3 2 3 2 5 7 3 --R (- 1536a b c + 1920a b c + 96a b c - 120b )x --R + --R 3 4 2 2 3 4 2 6 2 --R (- 3072a c + 768a b c + 4800a b c - 1200b c)x --R + --R 2 4 3 3 5 2 2 5 --R (- 9216a b c + 13824a b c - 2880b c )x - 6144a c --R + --R 2 4 4 3 --R 9216a b c - 1920b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 4 4 2 4 2 6 8 4 --R (768a c - 1440a b c + 288a b c + 15b )x --R + --R 3 4 2 3 3 5 2 7 3 --R (6144a b c - 7680a b c - 384a b c + 480b c)x --R + --R 3 5 2 2 4 4 3 6 2 2 --R (6144a c - 1536a b c - 9600a b c + 2400b c )x --R + --R 2 5 3 4 5 3 2 6 2 5 --R (12288a b c - 18432a b c + 3840b c )x + 6144a c - 9216a b c --R + --R 4 4 --R 1920b c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 5 2 4 2 3 4 7 --R (- 768a c - 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1216a b c + 120b c)x - 640a b c --R * --R +-+ +-+ --R \|a \|c --R / --R +--------------+ --R 3 3 +-+ +-+ | 2 --R (1536a b x + 3072a c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 4 3 2 2 3 3 2 +-+ --R ((- 1536a c - 384a b )x - 3072a b c x - 3072a c )\|a --R Type: Expression Integer --E --S 65 bb2:=(6*a*x-5*b)/(24*a^2)*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)+(5*b^2-4*a*c)/(16*a^2)*t1.2 --R --R (4) --R 2 2 3 5 2 3 2 2 4 --R ((- 192a b c + 288a b c - 60b )x - 384a c + 576a b c - 120b c) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 3 3 2 2 2 4 6 2 --R (192a c - 240a b c - 12a b c + 15b )x --R + --R 2 3 3 2 5 2 4 2 3 4 2 --R (384a b c - 576a b c + 120b c)x + 384a c - 576a b c + 120b c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 4 3 2 5 3 2 3 4 --R (- 192a c - 48a b )x + (- 416a b c - 8a b )x --R + --R 3 2 2 2 4 3 2 2 3 5 2 --R (- 480a c - 48a b c + 10a b )x + (- 48a b c + 72a b c - 15b )x --R + --R 2 3 2 2 4 3 --R (- 192a c + 448a b c - 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294912a b c + 61440b c --R * --R +-+ --R \|a --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 3 2 4 2 4 3 6 2 5 --R (- 15360a b c - 12800a b c - 960a b c )x --R + --R 3 5 2 3 4 5 3 4 --R (- 30720a b c - 107520a b c - 22400a b c )x --R + --R 2 2 5 4 4 3 2 6 3 5 2 --R (- 245760a b c - 143360a b c )x + (- 163840a b c - 368640a b c )x --R + --R 2 6 7 --R - 409600a b c x - 163840a b c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 4 4 3 3 3 2 5 2 7 6 --R (5120a b c + 19200a b c + 4800a b c + 80a b c)x --R + --R 3 2 4 2 4 3 6 2 5 --R (92160a b c + 76800a b c + 5760a b c )x --R + --R 3 5 2 3 4 5 3 4 --R (92160a b c + 322560a b c + 67200a b c )x --R + --R 2 2 5 4 4 3 2 6 3 5 2 --R (491520a b c + 286720a b c )x + (245760a b c + 552960a b c )x --R + --R 2 6 7 --R 491520a b c x + 163840a b c --R * --R +---+ +-+ +-+ --R \|- a \|a \|c --R / --R 5 2 4 3 3 5 5 --R (73728a b c + 61440a b c + 4608a b )x --R + --R 5 3 4 2 2 3 4 4 --R (147456a c + 516096a b c + 107520a b c)x --R + --R 4 3 3 3 2 3 4 4 3 2 3 2 --R (1179648a b c + 688128a b c )x + (786432a c + 1769472a b c )x --R + --R 3 4 3 5 --R 1966080a b c x + 786432a c --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 --R \|- a \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 6 3 5 2 2 4 4 3 6 6 --R (- 24576a c - 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3072a c - 6912a b c + 13440a b c + 672a b c - 828a b c --R + --R 10 --R - 15b --R * --R 6 --R x --R + --R 4 5 3 3 4 2 5 3 7 2 --R - 55296a b c + 36864a b c + 48384a b c - 9216a b c --R + --R 9 --R - 1080b c --R * --R 5 --R x --R + --R 4 6 3 2 5 2 4 4 8 2 4 --R (- 55296a c - 110592a b c + 232704a b c - 12600b c )x --R + --R 3 6 2 3 5 5 4 7 3 3 --R (- 294912a b c + 270336a b c + 165888a b c - 53760b c )x --R + --R 3 7 2 2 6 4 5 6 4 2 --R (- 147456a c - 110592a b c + 451584a b c - 103680b c )x --R + --R 2 7 3 6 5 5 2 8 --R (- 294912a b c + 442368a b c - 92160b c )x - 98304a c --R + --R 2 7 4 6 --R 147456a b c - 30720b c --R * --R +---+ --R \|- a --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c + 2a x)\|a x + b x + c - 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 4 4 3 3 3 2 5 2 7 9 5 --R (18432a b c - 12288a b c - 16128a b c + 3072a b c + 360b )x --R + --R 4 5 3 2 4 2 4 3 8 4 --R (36864a c + 73728a b c - 155136a b c + 8400b c)x --R + --R 3 5 2 3 4 5 3 7 2 3 --R (294912a b c - 270336a b c - 165888a b c + 53760b c )x --R + --R 3 6 2 2 5 4 4 6 3 2 --R (196608a c + 147456a b c - 602112a b c + 138240b c )x --R + --R 2 6 3 5 5 4 2 7 --R (491520a b c - 737280a b c + 153600b c )x + 196608a c --R + --R 2 6 4 5 --R - 294912a b c + 61440b c --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 --R - 6144a c - 13824a b c + 26880a b c + 1344a b c --R + --R 8 10 --R - 1656a b c - 30b --R * --R 6 --R x --R + --R 4 5 3 3 4 2 5 3 7 2 --R - 110592a b c + 73728a b c + 96768a b c - 18432a b c --R + --R 9 --R - 2160b c --R * --R 5 --R x --R + --R 4 6 3 2 5 2 4 4 8 2 4 --R (- 110592a c - 221184a b c + 465408a b c - 25200b c )x --R + --R 3 6 2 3 5 5 4 7 3 3 --R (- 589824a b c + 540672a b c + 331776a b c - 107520b c )x --R + --R 3 7 2 2 6 4 5 6 4 2 --R (- 294912a c - 221184a b c + 903168a b c - 207360b c )x --R + --R 2 7 3 6 5 5 2 8 --R (- 589824a b c + 884736a b c - 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b x - 2b c) --R * --R log --R 2 +-+ 2 2 +-+ --R ((- 2a b x - 8a c x)\|c + (4a c x + 4b c x + 8c )\|a ) --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ +-+ 2 3 --R (- 2a b x + (- 8a c - b )x - 8b c x - 8c )\|a \|c + 4a c x --R + --R 2 2 --R 6a b c x + 8a c x --R / --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4b c x + 8c )\|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +-+ --R ((- 4a c - b )x - 8b c x - 8c )\|c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R - 2b x\|a \|a x + b x + c + (4a x + 2b x)\|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R 4\|a \|c \|a x + b x + c + (- 2b x - 4c)\|a --R , --R --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R (2c\|- a \|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (2b\|c \|a x + b x + c - b x - 2b c) --R * --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 +---+ --R \|- a \|c \|a x + b x + c - c\|- a --R atan(-------------------------------------) --R +-+ --R a x\|c --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R - b x\|- a \|a x + b x + c + (2a x + b x)\|- a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 +---+ --R 2\|- a \|c \|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|- a --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 72 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 73 t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (3) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 74 bb1:=sqrt(a*x^2+b*x+c)+b/2*t1.1+c*t2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R 2c\|a log(---------------------------------) --R x --R + --R +-+ --R b\|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R 2\|a \|c \|a x + b x + c --R / --R +-+ +-+ --R 2\|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 75 bb2:=sqrt(a*x^2+b*x+c)+b/2*t1.2+c*t2 --R --R (5) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R c\|- a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R +-+ \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R b\|c atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R \|- a \|c \|a x + b x + c --R / --R +---+ +-+ --R \|- a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 76 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - 2c\|a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R 2c\|a log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R - --R +-+ --R b\|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +-+ --R b\|c --R * --R log --R 2 +-+ 2 2 +-+ --R ((- 2a b x - 8a c x)\|c + (4a c x + 4b c x + 8c )\|a ) --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ +-+ 2 3 --R (- 2a b x + (- 8a c - b )x - 8b c x - 8c )\|a \|c + 4a c x --R + --R 2 2 --R 6a b c x + 8a c x --R / --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4b c x + 8c )\|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +-+ --R ((- 4a c - b )x - 8b c x - 8c )\|c --R + --R +-+ --R 2c\|a --R / --R +-+ +-+ --R 2\|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 77 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (7) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - 2c\|- a \|a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R 2c\|- a \|a log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R - --R +---+ +-+ --R b\|- a \|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 +---+ --R +-+ +-+ \|- a \|c \|a x + b x + c - c\|- a +---+ +-+ --R 2b\|a \|c atan(-------------------------------------) + 2c\|- a \|a --R +-+ --R a x\|c --R / --R +---+ +-+ +-+ --R 2\|- a \|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 78 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (8) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - 2c\|- a \|a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R 2c\|- a \|a log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R +---+ +-+ --R b\|- a \|c --R * --R log --R 2 +-+ 2 2 +-+ --R ((- 2a b x - 8a c x)\|c + (4a c x + 4b c x + 8c )\|a ) --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ +-+ 2 3 --R (- 2a b x + (- 8a c - b )x - 8b c x - 8c )\|a \|c + 4a c x --R + --R 2 2 --R 6a b c x + 8a c x --R / --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4b c x + 8c )\|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +-+ --R ((- 4a c - b )x - 8b c x - 8c )\|c --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R +-+ +-+ \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c +---+ +-+ --R - 2b\|a \|c atan(------------------------------------) + 2c\|- a \|a --R a x --R / --R +---+ +-+ +-+ --R 2\|- a \|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 79 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (9) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - c\|- a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R c\|- a log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 +---+ --R +-+ \|- a \|c \|a x + b x + c - c\|- a --R b\|c atan(-------------------------------------) --R +-+ --R a x\|c --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R +-+ \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c +---+ --R - b\|c atan(------------------------------------) + c\|- a --R a x --R / --R +---+ +-+ --R \|- a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 80 dd4:=ratDenom cc4 --R --R (10) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - \|c log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R +-+ 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c +-+ --R \|c log(--------------------------------------) + \|c --R 2c x --R Type: Expression Integer --E --S 81 ee4:=expandLog dd4 --R --R (11) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R - \|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ +-+ --R \|c log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) + (- log(c) - log(2) + 1)\|c --R Type: Expression Integer --E --S 82 14:288 Schaums and Axiom differ by a constant ff4:=complexNormalize ee4 --R --R +-+ --R (- log(c) - 2log(2) + 2)\|c --R (12) ---------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.289~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{x^2}}= -\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{x^2} +a\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} +\frac{b}{2}\int{\frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}} $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c)/x^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (4b x\|c \|a x + b x + c - 2b x - 4b c x) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (8c x\|a \|a x + b x + c + (- 4b x - 8c x)\|a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ +-+ 2 --R (2\|c - 2x\|a )\|a x + b x + c + 2x\|a \|c - 2a x - b x - 2c --R log(-----------------------------------------------------------------) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 2 --R (2b x + 8c)\|c \|a x + b x + c + (- 8a c + b )x - 6b c x - 8c --R / --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R 8c x\|a x + b x + c + (- 4b x - 8c x)\|c --R , --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (4b x\|c \|a x + b x + c - 2b x - 4b c x) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R (16c x\|- a \|a x + b x + c + (- 8b x - 16c x)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R \|a x + b x + c - \|c --R atan(------------------------) --R +---+ --R x\|- a --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 2 --R (2b x + 8c)\|c \|a x + b x + c + (- 8a c + b )x - 6b c x - 8c --R / --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R 8c x\|a x + b x + c + (- 4b x - 8c x)\|c --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 84 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 85 t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (3) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 86 bb1:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/x+a*t1.1+b/2*t2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R b x\|a log(---------------------------------) --R x --R + --R +-+ --R 2a x\|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R - 2\|a \|c \|a x + b x + c --R / --R +-+ +-+ --R 2x\|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 87 bb2:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/x+a*t1.2+b/2*t2 --R --R (5) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +---+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R b x\|- a log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R +-+ \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 4a x\|c atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R - 2\|- a \|c \|a x + b x + c --R / --R +---+ +-+ --R 2x\|- a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 88 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (- 4b c\|a \|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (4b c\|a \|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|a \|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 8a c\|c \|a x + b x + c + 4a b c x + 8a c ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (8a c\|c \|a x + b x + c - 4a b c x - 8a c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ +-+ 2 --R (2\|c - 2x\|a )\|a x + b x + c + 2x\|a \|c - 2a x - b x - 2c --R log(-----------------------------------------------------------------) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R - 2b c\|a \|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ --R 8c\|a \|c \|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c )\|a --R Type: Expression Integer --E --S 89 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (7) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (- 4b c\|a \|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (4b c\|a \|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|a \|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 8a c\|c \|a x + b x + c + 4a b c x + 8a c ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 2 +---+ +-+ --R (16c\|- a \|a \|c \|a x + b x + c + (- 8b c x - 16c )\|- a \|a ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R \|a x + b x + c - \|c --R atan(------------------------) --R +---+ --R x\|- a --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R - 2b c\|a \|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ --R 8c\|a \|c \|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c )\|a --R Type: Expression Integer --E --S 90 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (8) --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R (- 4b c\|- a \|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R (4b c\|- a \|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 2 +---+ +-+ --R (8c\|- a \|a \|c \|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c )\|- a \|a ) --R * --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ +-+ 2 --R (2\|c - 2x\|a )\|a x + b x + c + 2x\|a \|c - 2a x - b x - 2c --R log(-----------------------------------------------------------------) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 16a c\|c \|a x + b x + c + 8a b c x + 16a c ) --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R - 2b c\|- a \|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|- a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 2 +---+ --R 8c\|- a \|c \|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c )\|- a --R Type: Expression Integer --E --S 91 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (9) --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R (- 4b c\|- a \|a x + b x + c + (2b x + 4b c)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R (4b c\|- a \|a x + b x + c + (- 2b x - 4b c)\|- a \|c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c --R log(--------------------------------------) --R 2c x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 16a c\|c \|a x + b x + c + 8a b c x + 16a c ) --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R (- 16a c\|c \|a x + b x + c + 8a b c x + 16a c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R \|a x + b x + c - \|c --R atan(------------------------) --R +---+ --R x\|- a --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R - 2b c\|- a \|a x + b x + c + (b x + 2b c)\|- a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 2 +---+ --R 8c\|- a \|c \|a x + b x + c + (- 4b c x - 8c )\|- a --R Type: Expression Integer --E --S 92 dd4:=ratDenom cc4 --R --R (10) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - 2b\|c log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R +-+ 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c +-+ --R 2b\|c log(--------------------------------------) - b\|c --R 2c x --R / --R 4c --R Type: Expression Integer --E --S 93 ee4:=expandLog dd4 --R --R (11) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R - 2b\|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ --R 2b\|c log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) --R + --R +-+ --R (- 2b log(c) - 2b log(2) - b)\|c --R / --R 4c --R Type: Expression Integer --E --S 94 14:289 Schaums and Axiom differ by a constant ff4:=complexNormalize ee4 --R --R +-+ --R (- b log(c) - 2b log(2) - b)\|c --R (12) -------------------------------- --R 4c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.290~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}$} $$ \int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}= \frac{2(2ax+b)}{(4ac-b^2)\sqrt{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 95 aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x) --R --R --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R - 2x\|a x + b x + c + 2x\|c --R (1) -------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (b x + 2c)\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 96 bb:=(2*(2*a*x+b))/((4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)) --R --R 4a x + 2b --R (2) ---------------------------- --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|a x + b x + c --R Type: Expression Integer --E --S 97 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R 4b\|c \|a x + b x + c - 2b x - 4b c --R ----------------------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R 2 2 | 2 3 2 2 +-+ --R (8a c - 2b c)\|a x + b x + c + ((- 4a b c + b )x - 8a c + 2b c)\|c --R Type: Expression Integer --E --S 98 14:290 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=ratDenom cc --R --R +-+ --R 2b\|c --R (4) ----------- --R 2 2 --R 4a c - b c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.291~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}= \frac{2(bx+2c)}{(b^2-4ac)\sqrt{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 99 aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x) --R --R --R 2 +-+ --R 2x \|c --R (1) -------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (b x + 2c)\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 100 bb:=(2*(b*x+2*c))/((b^2-4*a*c)*sqrt(a*x^2+b*x+c)) --R --R - 2b x - 4c --R (2) ---------------------------- --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|a x + b x + c --R Type: Expression Integer --E --S 101 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 --R - 8c\|c \|a x + b x + c + 4b c x + 8c --R ----------------------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R 2 2 | 2 3 2 2 +-+ --R (8a c - 2b c)\|a x + b x + c + ((- 4a b c + b )x - 8a c + 2b c)\|c --R Type: Expression Integer --E --S 102 14:291 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=ratDenom cc --R --R +-+ --R 4\|c --R (4) - --------- --R 2 --R 4a c - b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.292~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}= \frac{(2b^2-4ac)x+2bc}{a(4ac-b^2)\sqrt{ax^2+bx+c}} +\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} $$ <<*>>= )clear all --S 103 aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R [ --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R ((b x + 2c)\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c ) --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R 2c x\|a \|a x + b x + c + (- 2b x - 2c x)\|a \|c --R / --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R (a b x + 2a c)\|a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +-+ --R (- 2a c x - 2a b c x - 2a c )\|a --R , --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R ((2b x + 4c)\|c \|a x + b x + c - 4a c x - 4b c x - 4c ) --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ | 2 2 +---+ +-+ --R 2c x\|- a \|a x + b x + c + (- 2b x - 2c x)\|- a \|c --R / --R +--------------+ --R +---+ +-+ | 2 --R (a b x + 2a c)\|- a \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 +---+ --R (- 2a c x - 2a b c x - 2a c )\|- a --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 104 t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R / --R +-+ --R \|a --R , --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R 2atan(------------------------------------) --R a x --R -------------------------------------------] --R +---+ --R \|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 105 bb1:=((2*b^2-4*a*c)*x+2*b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/a*t1.1 --R --R (3) --R +--------------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|a x + b x + c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R 2 +-+ --R ((- 4a c + 2b )x + 2b c)\|a --R / --R +--------------+ --R 2 2 +-+ | 2 --R (4a c - a b )\|a \|a x + b x + c --R Type: Expression Integer --E --S 106 bb2:=((2*b^2-4*a*c)*x+2*b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/a*t1.2 --R --R (4) --R +--------------+ --R +--------------+ +---+ | 2 +---+ +-+ --R 2 | 2 \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R (8a c - 2b )\|a x + b x + c atan(------------------------------------) --R a x --R + --R 2 +---+ --R ((- 4a c + 2b )x + 2b c)\|- a --R / --R +--------------+ --R 2 2 +---+ | 2 --R (4a c - a b )\|- a \|a x + b x + c --R Type: Expression Integer --E --S 107 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R 4b c\|c \|a x + b x + c - 2b c x - 4b c --R ----------------------------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R 2 2 2 | 2 2 3 2 2 2 +-+ --R (8a c - 2a b c)\|a x + b x + c + ((- 4a b c + a b )x - 8a c + 2a b c)\|c --R Type: Expression Integer --E --S 108 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +--------------+ --R 2 2 +---+ | 2 --R (- 8a c + 2b c)\|- a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 +---+ +-+ --R ((4a b c - b )x + 8a c - 2b c)\|- a \|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 2 2 +-+ | 2 --R (16a c - 4b c)\|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 +-+ +-+ --R ((- 8a b c + 2b )x - 16a c + 4b c)\|a \|c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 2 2 +---+ +-+ --R 4b c\|- a \|a \|c \|a x + b x + c + (- 2b c x - 4b c )\|- a \|a --R / --R +--------------+ --R 2 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (8a c - 2a b c)\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 2 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((- 4a b c + a b )x - 8a c + 2a b c)\|- a \|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 109 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +--------------+ --R 2 2 +---+ | 2 --R (8a c - 2b c)\|- a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 +---+ +-+ --R ((- 4a b c + b )x - 8a c + 2b c)\|- a \|c --R * --R log --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 +-+ --R (2\|a \|c - 2a x)\|a x + b x + c + 2a x\|c --R + --R 2 +-+ --R (- 2a x - b x - 2c)\|a --R / --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R + --R +--------------+ --R 2 2 +-+ | 2 --R (- 16a c + 4b c)\|a \|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 +-+ +-+ --R ((8a b c - 2b )x + 16a c - 4b c)\|a \|c --R * --R +--------------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- a \|a x + b x + c - \|- a \|c --R atan(------------------------------------) --R a x --R + --R +--------------+ --R +---+ +-+ +-+ | 2 2 2 +---+ +-+ --R 4b c\|- a \|a \|c \|a x + b x + c + (- 2b c x - 4b c )\|- a \|a --R / --R +--------------+ --R 2 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (8a c - 2a b c)\|- a \|a \|a x + b x + c --R + --R 2 3 2 2 2 +---+ +-+ +-+ --R ((- 4a b c + a b )x - 8a c + 2a b c)\|- a \|a \|c --R Type: Expression Integer --E --S 110 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R 4b c\|c \|a x + b x + c - 2b c x - 4b c --R ----------------------------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R 2 2 2 | 2 2 3 2 2 2 +-+ --R (8a c - 2a b c)\|a x + b x + c + ((- 4a b c + a b )x - 8a c + 2a b c)\|c --R Type: Expression Integer --E --S 111 14:292 Schaums and Axiom differ by a constant dd4:=ratDenom cc4 --R --R +-+ --R 2b\|c --R (9) ----------- --R 2 2 --R 4a c - a b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.293~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)^{3/2}}}= \frac{1}{c\sqrt{ax^2+bx+c}} +\frac{1}{c}\int{\frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}} -\frac{b}{2c}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}} $$ <<*>>= )clear all --S 112 aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R ((b x + 2c)\|a x + b x + c + (- 2a x - 2b x - 2c)\|c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R +--------------+ --R | 2 2 +-+ --R 2b x\|a x + b x + c + (- 2a x - 2b x)\|c --R / --R +--------------+ --R 2 +-+ | 2 2 2 2 3 --R (b c x + 2c )\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 113 t1:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (2) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 114 t2:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x) --R --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R - 2x\|a x + b x + c + 2x\|c --R (3) -------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (b x + 2c)\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 115 bb:=1/(c*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/c*t1-b/(2*c)*t2 --R --R (4) --R +--------------+ --R 2 2 | 2 --R (2a c x + 2b c x + 2c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R (- a b x + (- 2a c - b )x - 3b c x - 2c )\|c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R 2 | 2 3 2 2 2 +-+ --R - 2c \|a x + b x + c + (- a b x + (2a c - b )x + b c x + 2c )\|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 2 3 +-+ | 2 2 3 --R (2a c x + 2b c x + 2c )\|c \|a x + b x + c - a b c x --R + --R 3 2 2 2 3 4 --R (- 2a c - b c )x - 3b c x - 2c --R Type: Expression Integer --E --S 116 cc:=aa-bb --R --R (5) --R +--------------+ --R 2 2 2 | 2 --R ((- 4a c - b )x - 8b c x - 8c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R (4a b x + (8a c + 4b )x + 12b c x + 8c )\|c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R 2 2 2 | 2 --R ((4a c + b )x + 8b c x + 8c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R (- 4a b x + (- 8a c - 4b )x - 12b c x - 8c )\|c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R +--------------+ --R 2 2 2 | 2 --R ((4a c + b )x + 8b c x + 8c )\|a x + b x + c --R + --R 3 2 2 2 +-+ --R (- 4a b x + (- 8a c - 4b )x - 12b c x - 8c )\|c --R / --R +--------------+ --R 2 2 2 2 3 +-+ | 2 2 3 --R ((4a c + b c)x + 8b c x + 8c )\|c \|a x + b x + c - 4a b c x --R + --R 3 2 2 2 3 4 --R (- 8a c - 4b c )x - 12b c x - 8c --R Type: Expression Integer --E --S 117 dd:=ratDenom cc --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R - \|c log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R +-+ 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c +-+ --R \|c log(--------------------------------------) + \|c --R 2c x --R / --R 2 --R c --R Type: Expression Integer --E --S 118 ee:=expandLog dd --R --R (7) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R - \|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ --R \|c log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) --R + --R +-+ --R (- log(c) - log(2) + 1)\|c --R / --R 2 --R c --R Type: Expression Integer --E --S 119 14:293 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R +-+ --R (- log(c) - 2log(2) + 2)\|c --R (8) ---------------------------- --R 2 --R 2c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.294~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(ax^2+bx+c)^{3/2}}}$} $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int{\frac{1}{x^2(ax^2+bx+c)^{3/2}}}= &\displaystyle-\frac{ax^2+bx+c}{c^2x\sqrt{ax^2+bx+c}}\\ &\\ &\displaystyle+\frac{b^2-2ac}{2c^2}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{3/2}}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{3b}{2c^2}\int{\frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 120 aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +--------------+ --R 3 3 2 2 2 +-+ | 2 --R ((- 24a b c - 6b )x - 48b c x - 48b c x)\|c \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 3 3 2 2 2 3 --R 24a b c x + (48a b c + 24b c)x + 72b c x + 48b c x --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R 3 3 2 2 2 2 3 +-+ --R ((4a b c - 9b )x + (64a c - 24b c)x + 40b c x + 32c )\|c --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 2 2 4 2 3 3 3 2 2 2 --R (- 32a c + 24a b c)x + (- 48a b c + 24b c)x + (- 80a c + 8b c )x --R + --R 3 4 --R - 56b c x - 32c --R / --R +--------------+ --R 4 2 3 3 4 2 5 | 2 --R ((16a c + 4b c )x + 32b c x + 32c x)\|a x + b x + c --R + --R 3 4 4 2 3 3 4 2 5 +-+ --R (- 16a b c x + (- 32a c - 16b c )x - 48b c x - 32c x)\|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 121 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x) --R --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R - 2x\|a x + b x + c + 2x\|c --R (2) -------------------------------------------------------- --R +--------------+ --R +-+ | 2 2 2 --R (b x + 2c)\|c \|a x + b x + c - 2a c x - 2b c x - 2c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 122 t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R (3) -------------------------------------- --R +-+ --R \|c --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 123 bb:=-(a*x^2+2*b*x+c)/(c^2*x*sqrt(a*x^2+b*x+c))+(b^2-2*a*c)/(2*c^2)*t1-(3*b)/(2*c^2)*t2 --R --R (4) --R +--------------+ --R 3 2 2 2 | 2 --R (- 6a b c x - 6b c x - 6b c x)\|a x + b x + c --R + --R 2 4 3 3 2 2 2 +-+ --R (3a b x + (6a b c + 3b )x + 9b c x + 6b c x)\|c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R 3 2 2 2 2 3 | 2 --R (2a b c x + (8a c + 2b c)x + 10b c x + 4c )\|a x + b x + c --R + --R 2 2 4 3 3 2 2 2 --R (- 8a c + 2a b )x + (- 16a b c + 2b )x + (- 12a c - 6b c)x --R + --R 2 3 --R - 12b c x - 4c --R * --R +-+ --R \|c --R / --R +--------------+ --R 3 3 3 2 4 +-+ | 2 3 4 --R (4a c x + 4b c x + 4c x)\|c \|a x + b x + c - 2a b c x --R + --R 4 2 3 3 4 2 5 --R (- 4a c - 2b c )x - 6b c x - 4c x --R Type: Expression Integer --E --S 124 cc:=aa-bb --R --R (5) --R 2 4 3 2 3 2 2 2 3 --R ((72a b c + 6b )x + (144a b c + 108b c)x + 288b c x + 192b c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 4 2 2 4 3 --R (- 48a b c - 36a b c)x + (- 240a b c - 36b c)x --R + --R 3 3 2 2 2 3 4 --R (- 240a b c - 228b c )x - 384b c x - 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R x --R + --R 2 4 3 2 3 2 2 2 --R (- 72a b c - 6b )x + (- 144a b c - 108b c)x - 288b c x --R + --R 3 --R - 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 4 2 2 4 3 --R (48a b c + 36a b c)x + (240a b c + 36b c)x --R + --R 3 3 2 2 2 3 4 --R (240a b c + 228b c )x + 384b c x + 192b c --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R log(---------------------------------) --R +-+ --R 2x\|c --R + --R 2 4 3 2 3 2 2 2 3 --R ((- 60a b c - 5b )x + (- 120a b c - 90b c)x - 240b c x - 160b c ) --R * --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|a x + b x + c --R + --R 2 2 3 4 2 2 4 3 3 3 2 2 --R (40a b c + 30a b c)x + (200a b c + 30b c)x + (200a b c + 190b c )x --R + --R 2 3 4 --R 320b c x + 160b c --R / --R 4 3 3 3 5 2 4 2 5 6 --R ((48a b c + 4b c )x + (96a c + 72b c )x + 192b c x + 128c ) --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|a x + b x + c --R + --R 2 4 2 3 4 4 3 3 3 --R (- 32a c - 24a b c )x + (- 160a b c - 24b c )x --R + --R 5 2 4 2 5 6 --R (- 160a c - 152b c )x - 256b c x - 128c --R * --R +-+ --R \|c --R Type: Expression Integer --E --S 125 dd:=ratDenom cc --R --R (6) --R +--------------+ --R +-+ | 2 --R +-+ 2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c --R 6b\|c log(---------------------------------) --R x --R + --R +--------------+ --R | 2 +-+ --R +-+ 2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c +-+ --R - 6b\|c log(--------------------------------------) - 5b\|c --R 2c x --R / --R 3 --R 4c --R Type: Expression Integer --E --S 126 ee:=expandLog dd --R --R (7) --R +--------------+ --R +-+ +-+ | 2 --R 6b\|c log(2\|c \|a x + b x + c - b x - 2c) --R + --R +--------------+ --R +-+ | 2 +-+ --R - 6b\|c log(2c\|a x + b x + c + (- b x - 2c)\|c ) --R + --R +-+ --R (6b log(c) + 6b log(2) - 5b)\|c --R / --R 3 --R 4c --R Type: Expression Integer --E --S 127 14:294 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R +-+ --R (3b log(c) + 6b log(2) - 5b)\|c --R (8) -------------------------------- --R 3 --R 4c --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.295~~~~~$\displaystyle \int{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}~dx$} $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}= &\displaystyle\frac{(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}{4a(n+1)}\\ &\\ &\displaystyle+\frac{(2n+1)(4ac-b^2)}{8a(n+1)} \int{(ax^2+bx+c)^{n-1/2}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 128 14:295 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate((a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x) --R --R --R 2n + 1 --R x ------ --R ++ 2 2 --I (1) | (c + %N b + %N a) d%N --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.296~~~~~$\displaystyle \int{x(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}~dx$} $$\int{x(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}= \frac{(ax^2+bx+c)^{n+3/2}}{a(2n+3)}- \frac{b}{2a}\int{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}} $$ <<*>>= )clear all --S 129 14:296 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x*(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x) --R --R --R 2n + 1 --R x ------ --R ++ 2 2 --I (1) | %N (c + %N b + %N a) d%N --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.297~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}}$} $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}}= &\displaystyle\frac{2(2ax+b)}{(2n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1/2}}\\ &\\ &\displaystyle +\frac{8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^2)}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1/2}}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 130 14:297 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ----------------------- d%N --R ++ 2n + 1 --R ------ --R 2 2 --I (c + %N b + %N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.298~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}}$} $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}}= &\displaystyle\frac{1}{(2n-1)c(ax^2+bx+c)^{n-1/2}}\\ &\\ &\displaystyle +\frac{1}{c}\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)^{n-1/2}}}\\ &\\ &\displaystyle -\frac{b}{2c}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n+1/2}}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 131 14:298 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2)),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------------------- d%N --R ++ 2n + 1 --R ------ --R 2 2 --I %N (c + %N b + %N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp72-73 \end{thebibliography} \end{document}