\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum12.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.265~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{ax^2+bx+c}}$} $$\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left( \frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )spool schaum12.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (1) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 2 bb1:=2/sqrt(4*a*c-b^2)*atan((2*a*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2)) --R --R --R 2a x + b --R 2atan(------------) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R (2) ------------------- --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 3 bb2:=1/sqrt(b^2-4*a*c)*log((2*a*x+b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a*x+b+sqrt(b^2-4*a*c))) --R --R --R +-----------+ --R | 2 --R - \|- 4a c + b + 2a x + b --R log(---------------------------) --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b + 2a x + b --R (3) -------------------------------- --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 4 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 2a x + b --R - 2\|- 4a c + b atan(------------) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 5 cc2:=aa.1-bb2 --R --R (5) --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R - \|- 4a c + b + 2a x + b --R - log(---------------------------) --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b + 2a x + b --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 6 cc3:=aa.2-bb1 --R --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b 2a x + b --R 2atan(----------------------) - 2atan(------------) --R 2 +---------+ --R 4a c - b | 2 --R \|4a c - b --R (6) --------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 7 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +-----------+ --R +---------+ | 2 --R | 2 - \|- 4a c + b + 2a x + b --R - \|4a c - b log(---------------------------) --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b + 2a x + b --R + --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R 2\|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 8 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (8) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 9 dd3:=atanrule cc3 --R --R (9) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b + 2%i a x + %i b --R %i log(-----------------------------) --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b - 2%i a x - %i b --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R (- 2a x - b)\|4a c - b + 4%i a c - %i b --R - %i log(------------------------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R (2a x + b)\|4a c - b + 4%i a c - %i b --R / --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Complex Integer --E --S 10 ee3:=expandLog dd3 --R --R (10) --R +---------+ --R | 2 2 --R %i log((2a x + b)\|4a c - b + 4%i a c - %i b ) --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - %i log((2a x + b)\|4a c - b - 4%i a c + %i b ) --R + --R +---------+ --R | 2 --R %i log(\|4a c - b + 2%i a x + %i b) --R + --R +---------+ --R | 2 --R - %i log(\|4a c - b - 2%i a x - %i b) - %i log(- 1) --R / --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Complex Integer --E --S 11 14:265 Schaums and Axiom agree ff3:=complexNormalize ee3 --R --R (11) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.266~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{ax^2+bx+c}}$} $$\int{\frac{x}{ax^2+bx+c}}= \frac{1}{2a}\ln(ax^2+bx+c)-\frac{b}{2a}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 12 aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R (1) --R [ --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R log(a x + b x + c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2a\|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R (2a x + b)\|4a c - b 2 | 2 --R - 2b atan(----------------------) + log(a x + b x + c)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R -------------------------------------------------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R 2a\|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 13 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 14 bb1:=1/(2*a)*log(a*x^2+b*x+c)-b/(2*a)*t1.1 --R --R --R (3) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R log(a x + b x + c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2a\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 15 bb2:=1/(2*a)*log(a*x^2+b*x+c)-b/(2*a)*t1.2 --R --R --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R (2a x + b)\|4a c - b 2 | 2 --R - 2b atan(----------------------) + log(a x + b x + c)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R (4) ------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 --R 2a\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 16 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2a\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 17 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +---------+ --R | 2 --R b\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R - 2b\|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R 2a\|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 18 cc3:=aa.2-bb1 --R --R (7) --R +---------+ --R | 2 --R b\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R - 2b\|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R 2a\|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 19 14:266 Schaums and Axiom agree cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.267~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2dx}{ax^2+bx+c}}$} $$\int{\frac{x^2}{ax^2+bx+c}}= \frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln(ax^2+bx+c)+\frac{b^2-2ac}{2a^2} \int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 20 aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 --R (2a c - b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (- b log(a x + b x + c) + 2a x)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2a \|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 4a c + 2b )atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R (- b log(a x + b x + c) + 2a x)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 | 2 --R 2a \|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 21 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 22 bb1:=x/a-b/(2*a^2)*log(a*x^2+b*x+c)+(b^2-2*a*c)/(2*a^2)*t1.1 --R --R --R (3) --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (- b log(a x + b x + c) + 2a x)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2a \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 23 bb2:=x/a-b/(2*a^2)*log(a*x^2+b*x+c)+(b^2-2*a*c)/(2*a^2)*t1.2 --R --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 --R 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 4a c + 2b )atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R (- b log(a x + b x + c) + 2a x)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 | 2 --R 2a \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 24 cc1:=bb1-aa.1 --R --R (5) --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2a \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 25 14:267 Schaums and Axiom differ by a constant dd1:=complexNormalize cc1 --R --R 2 3 2 2 --R (- 2a c + b )log(- 16a c + 4a b ) --R (6) --------------------------------- --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2a \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.268~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^m~dx}{ax^2+bx+c}}$} $$\int{\frac{x^m}{ax^2+bx+c}}= \frac{x^{m-1}}{(m-1)a}-\frac{c}{a}\int{\frac{x^{m-2}}{ax^2+bx+c}}- \frac{b}{a}\int{\frac{x^{m-1}}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 26 14:268 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R x m --I ++ %N --I (1) | --------------- d%N --R ++ 2 --I c + %N b + %N a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.269~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)}}$} $$\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)}}= \frac{1}{2c}\ln\left(\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right)- \frac{b}{2c}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 27 aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R --R (1) --R [ --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (- log(a x + b x + c) + 2log(x))\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R - 2b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R (- log(a x + b x + c) + 2log(x))\|4a c - b --R / --R +---------+ --R | 2 --R 2c\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 28 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 29 bb1:=1/(2*c)*log(x^2/(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1 --R --R --R (3) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 +-----------+ --R x | 2 --R log(--------------)\|- 4a c + b --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 30 bb2:=1/(2*c)*log(x^2/(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2 --R --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R (2a x + b)\|4a c - b x | 2 --R - 2b atan(----------------------) + log(--------------)\|4a c - b --R 2 2 --R 4a c - b a x + b x + c --R (4) ------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 --R 2c\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 31 cc1:=bb1-aa.1 --R --R (5) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b --R + --R 2 2 3 --R (- 8a c + 2a b )x - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 +-----------+ --R 2 x | 2 --R (log(a x + b x + c) - 2log(x) + log(--------------))\|- 4a c + b --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 32 dd1:=expandLog cc1 --R --R (6) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R + --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R + --R 2 --R 2b log(a x + b x + c) --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 33 14:269 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=complexNormalize dd1 --R --R 3 2 2 --R b log(- 16a c + 4a b ) --R (7) - ---------------------- --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.270~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(ax^2+bx+c)}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(ax^2+bx+c)}}= \frac{b}{2c^2}\ln\left(\frac{ax^2+bx+c}{x^2}\right)-\frac{1}{cx}+ \frac{b^2-2ac}{2c^2}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 34 aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 --R (2a c - b )x --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (b x log(a x + b x + c) - 2b x log(x) - 2c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2c x\|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 4a c + 2b )x atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R (b x log(a x + b x + c) - 2b x log(x) - 2c)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 | 2 --R 2c x\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 35 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 36 bb1:=b/(2*c^2)*log((a*x^2+b*x+c)/x^2)-1/(c*x)+(b^2-2*a*c)/(2*c^2)*t1.1 --R --R --R (3) --R 2 --R (- 2a c + b )x --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 +-----------+ --R a x + b x + c | 2 --R (b x log(--------------) - 2c)\|- 4a c + b --R 2 --R x --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2c x\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 37 bb2:=b/(2*c^2)*log((a*x^2+b*x+c)/x^2)-1/(c*x)+(b^2-2*a*c)/(2*c^2)*t1.2 --R --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 --R 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 4a c + 2b )x atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 +---------+ --R a x + b x + c | 2 --R (b x log(--------------) - 2c)\|4a c - b --R 2 --R x --R / --R +---------+ --R 2 | 2 --R 2c x\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 38 cc1:=bb1-aa.1 --R --R (5) --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 +-----------+ --R 2 a x + b x + c | 2 --R (- b log(a x + b x + c) + 2b log(x) + b log(--------------))\|- 4a c + b --R 2 --R x --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2c \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 39 dd1:=expandLog cc1 --R --R (6) --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R + --R 2 --R (- 2a c + b ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R + --R 2 2 --R (4a c - 2b )log(a x + b x + c) --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2c \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 40 14:270 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=complexNormalize dd1 --R --R 2 3 2 2 --R (- 2a c + b )log(- 16a c + 4a b ) --R (7) --------------------------------- --R +-----------+ --R 2 | 2 --R 2c \|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.271~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^n(ax^2+bx+c)}}$} $$\int{\frac{1}{x^n(ax^2+bx+c)}}= -\frac{1}{(n-1)cx^{n-1}}- \frac{b}{c}\int{\frac{1}{x^{n-1}(ax^2+bx+c)}}- \frac{a}{c}\int{\frac{1}{x^{x-2}(ax^2+bx+c)}} $$ <<*>>= )clear all --S 41 14:271 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x^n*(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------------- d%N --R ++ 2 n --I (c + %N b + %N a)%N --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.272~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^2}}$} $$\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^2}}= \frac{2xa+b}{(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)}+ \frac{2a}{4ac-b^2}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 42 aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 2 --R (2a x + 2a b x + 2a c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b | 2 --R (4a x + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R ---------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 43 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 44 bb1:=(2*a*x+b)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*a)/(4*a*c-b^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 2 --R (2a x + 2a b x + 2a c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 45 bb2:=(2*a*x+b)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*a)/(4*a*c-b^2)*t1.2 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b | 2 --R (4a x + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R ---------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 46 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E --S 47 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R - --R +---------+ --R | 2 --R 2a\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R 4a\|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R 2 | 2 | 2 --R (4a c - b )\|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 48 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +---------+ --R | 2 --R 2a\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R - 4a\|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R / --R +-----------+ +---------+ --R 2 | 2 | 2 --R (4a c - b )\|- 4a c + b \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 49 14:272 Schaums and Axiom agree cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.273~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(ax^2+bx+c)^2}}$} $$\int{\frac{x}{(ax^2+bx+c)^2}}= -\frac{bx+2c}{(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)}- \frac{b}{4ac-b^2}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 50 aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c)^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 2 --R (a b x + b x + b c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (- b x - 2c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 2a b x - 2b x - 2b c)atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R | 2 --R (- b x - 2c)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 51 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 52 bb1:=-(b*x+2*c)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))-b/(4*a*c-b^2)*t1.1 --R --R --R (3) --R 2 2 --R (- a b x - b x - b c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (- b x - 2c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 53 bb2:=-(b*x+2*c)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))-b/(4*a*c-b^2)*t1.2 --R --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (- 2a b x - 2b x - 2b c)atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R | 2 --R (- b x - 2c)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 54 cc1:=bb1-aa.1 --R --R (5) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b --R + --R 2 2 3 --R (- 8a c + 2a b )x - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 55 dd1:=expandLog cc1 --R --R (6) --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R + --R - --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R + --R 2 --R 2b log(a x + b x + c) --R / --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 56 14:273 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=complexNormalize dd1 --R --R 3 2 2 --R b log(- 16a c + 4a b ) --R (7) - ------------------------- --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (4a c - b )\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.274~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{(ax^2+bx+c)^2}}$} $$\int{\frac{x^2}{(ax^2+bx+c)^2}}= \frac{(b^2-2ac)x+bc}{a(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)}+ \frac{2c}{4ac-b^2}\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}} $$ <<*>>= )clear all --S 57 aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c)^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 2 2 --R (2a c x + 2a b c x + 2a c ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R ((- 2a c + b )x + b c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 3 2 2 2 2 3 2 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - a b )x + 4a c - a b c)\|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R 2 2 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (4a c x + 4a b c x + 4a c )atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R ((- 2a c + b )x + b c)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 3 2 2 2 2 3 2 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - a b )x + 4a c - a b c)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 58 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x) --R --R --R (2) --R [ --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R 2atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R -----------------------------] --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 59 bb1:=((b^2-2*a*c)*x+b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*c)/(4*a*c-b^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 2 2 --R (2a c x + 2a b c x + 2a c ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R ((- 2a c + b )x + b c)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 3 2 2 2 2 3 2 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - a b )x + 4a c - a b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 60 bb2:=((b^2-2*a*c)*x+b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*c)/(4*a*c-b^2)*t1.2 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 --R 2 2 2 (2a x + b)\|4a c - b --R (4a c x + 4a b c x + 4a c )atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R ((- 2a c + b )x + b c)\|4a c - b --R / --R +---------+ --R 3 2 2 2 2 3 2 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - a b )x + 4a c - a b c)\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 61 14:274 Schaums and Axiom agree cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.275~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^m~dx}{(ax^2+bx+c)^n}}$} $$ \begin{array}{lr} \displaystyle\int{\frac{x^m}{(ax^2+bx+c)^n}}= &\displaystyle-\frac{x^{m-1}}{(2n-m-1)a(ax^2+bx+c)^{n-1}}\\ &\\ &\displaystyle+\frac{(m-1)c}{(2n-m-1)a}\int{\frac{x^{m-2}}{(ax^2+bx+2)^n}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{(n-m)b}{(2n-m-1)a}\int{\frac{x^{m-1}}{(ax^2+bx+c)^n}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 62 14:275 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m/(a*x^2+b*x+c)^n,x) --R --R --R x m --I ++ %N --I (1) | ------------------ d%N --R ++ 2 n --I (c + %N b + %N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.276~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{2n-1}~dx}{(ax^2+bx+c)^n}}$} $$\begin{array}{lr} \displaystyle\int{\frac{x^{2n-1}}{(ax^2+bx+c)^n}}= &\displaystyle\frac{1}{a}\int{\frac{x^{2n-3}}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{c}{a}\int{\frac{x^{2n-3}}{(ax^2+bx+c)^n}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{b}{a}\int{\frac{x^{2n-2}}{(ax^2+bx+c)^n}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 63 14:276 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^(2*n-1)/(a*x^2+b*x+c)^n,x) --R --R --R x 2n - 1 --I ++ %N --I (1) | ------------------ d%N --R ++ 2 n --I (c + %N b + %N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.277~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)^2}}$} $$\begin{array}{lr} \displaystyle\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)^2}}= &\displaystyle\frac{1}{2c(ax^2+bx+2)}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{b}{2c}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^2}}\\ &\\ &\displaystyle+\frac{1}{c}\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 64 aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^2),x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((6a b c - a b )x + (6a b c - b )x + 6a b c - b c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) --R + --R 2 2 --R - 2a b c x + 4a c - 2b c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|- 4a c + b --R , --R --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((- 12a b c + 2a b )x + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c + 2b c) --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) --R + --R 2 2 --R - 2a b c x + 4a c - 2b c --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 65 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x) --R --R --R (2) --R [ --R 2 2 --R (2a x + 2a b x + 2a c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b | 2 --R (4a x + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R ---------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 66 t2:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)),x) --R --R --R (3) --R [ --R b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 | 2 --R (- log(a x + b x + c) + 2log(x))\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R | 2 --R 2c\|- 4a c + b --R , --R --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R - 2b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R +---------+ --R 2 | 2 --R (- log(a x + b x + c) + 2log(x))\|4a c - b --R / --R +---------+ --R | 2 --R 2c\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 67 bb1:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1+1/c*t2.1 --R --R --R (4) --R 2 2 2 2 --R (- 2a b c x - 2a b c x - 2a b c ) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a b c - b c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) - 2a b c x --R + --R 2 2 --R 4a c - 2b c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 68 bb2:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2+1/c*t2.1 --R --R --R (5) --R +---------+ --R 2 3 2 2 4 2 3 | 2 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a b c - b c)\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 2 2 2 2 | 2 --R (- 4a b c x - 4a b c x - 4a b c )\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) - 2a b c x --R + --R 2 2 --R 4a c - 2b c --R * --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R / --R +-----------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 69 bb3:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1+1/c*t2.2 --R --R --R (6) --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 --R (- 2a b c x - 2a b c x - 2a b c )\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x - 8a b c + 2b c) --R * --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R \|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) - 2a b c x --R + --R 2 2 --R 4a c - 2b c --R * --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R / --R +-----------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 70 bb4:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2+1/c*t2.2 --R --R --R (7) --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((- 12a b c + 2a b )x + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c + 2b c) --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) - 2a b c x --R + --R 2 2 --R 4a c - 2b c --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 71 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (8) --R a b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R a b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 72 dd1:=expandLog cc1 --R --R (9) --R a b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R + --R a b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R + --R 2 --R - 2a b log(a x + b x + c) --R / --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 73 14:277 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=complexNormalize dd1 --R --R 3 2 2 --R a b log(- 16a c + 4a b ) --R (10) --------------------------- --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.278~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(ax^2+bx+c)^2}}$} $$\begin{array}{lr} \displaystyle\int{\frac{1}{x^2(ax^2+bx+c)^2}}= &\displaystyle-\frac{1}{cx(ax^2+bx+c)}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{3a}{c}\int{\frac{1}{(ax^2+bx+c)^2}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{2b}{c}\int{\frac{1}{x(ax^2+bx+c)^2}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 74 aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)^2),x) --R --R --R (1) --R [ --R 3 2 2 2 4 3 2 2 3 5 2 --R (6a c - 6a b c + a b )x + (6a b c - 6a b c + b )x --R + --R 2 3 2 2 4 --R (6a c - 6a b c + b c)x --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|- 4a c + b --R , --R --R 3 2 2 2 4 3 2 2 3 5 2 --R (- 12a c + 12a b c - 2a b )x + (- 12a b c + 12a b c - 2b )x --R + --R 2 3 2 2 4 --R (- 12a c + 12a b c - 2b c)x --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 75 t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x) --R --R --R (2) --R [ --R 2 2 --R (2a x + 2a b x + 2a c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|- 4a c + b --R , --R +---------+ --R | 2 +---------+ --R 2 2 (2a x + b)\|4a c - b | 2 --R (4a x + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b --R 2 --R 4a c - b --R ---------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 2 3 2 2 | 2 --R ((4a c - a b )x + (4a b c - b )x + 4a c - b c)\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 76 t2:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^2),x) --R --R --R (3) --R [ --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((6a b c - a b )x + (6a b c - b )x + 6a b c - b c) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) --R + --R 2 2 --R - 2a b c x + 4a c - 2b c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|- 4a c + b --R , --R --R 2 3 2 2 4 2 3 --R ((- 12a b c + 2a b )x + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c + 2b c) --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((- 4a c + a b )x + (- 4a b c + b )x - 4a c + b c) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 2 2 3 2 2 --R ((8a c - 2a b )x + (8a b c - 2b )x + 8a c - 2b c)log(x) --R + --R 2 2 --R - 2a b c x + 4a c - 2b c --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 | 2 --R ((8a c - 2a b c )x + (8a b c - 2b c )x + 8a c - 2b c )\|4a c - b --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 77 bb1:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.1-(2*b)/c*t2.1 --R --R --R (4) --R 3 2 3 2 2 2 2 3 --R (- 6a c x - 6a b c x - 6a c x) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 2 4 3 3 5 2 2 2 4 --R ((- 6a b c + a b )x + (- 6a b c + b )x + (- 6a b c + b c)x) --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|- 4a c + b --R / --R +-----------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 78 bb2:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.2-(2*b)/c*t2.1 --R --R --R (5) --R 2 2 4 3 3 5 2 2 2 4 --R ((- 6a b c + a b )x + (- 6a b c + b )x + (- 6a b c + b c)x) --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R +-----------+ --R 3 2 3 2 2 2 2 3 | 2 --R (- 12a c x - 12a b c x - 12a c x)\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R / --R +-----------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 79 bb3:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.1-(2*b)/c*t2.2 --R --R --R (6) --R +---------+ --R 3 2 3 2 2 2 2 3 | 2 --R (- 6a c x - 6a b c x - 6a c x)\|4a c - b --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 2 4 3 3 5 2 2 2 4 --R ((12a b c - 2a b )x + (12a b c - 2b )x + (12a b c - 2b c)x) --R * --R +---------+ --R +-----------+ | 2 --R | 2 (2a x + b)\|4a c - b --R \|- 4a c + b atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +-----------+ +---------+ --R | 2 | 2 --R \|- 4a c + b \|4a c - b --R / --R +-----------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|- 4a c + b --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 80 bb4:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.2-(2*b)/c*t2.2 --R --R --R (7) --R 3 2 2 2 4 3 2 2 3 5 2 --R (- 12a c + 12a b c - 2a b )x + (- 12a b c + 12a b c - 2b )x --R + --R 2 3 2 2 4 --R (- 12a c + 12a b c - 2b c)x --R * --R +---------+ --R | 2 --R (2a x + b)\|4a c - b --R atan(----------------------) --R 2 --R 4a c - b --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((4a b c - a b )x + (4a b c - b )x + (4a b c - b c)x) --R * --R 2 --R log(a x + b x + c) --R + --R 2 3 3 2 4 2 2 3 --R ((- 8a b c + 2a b )x + (- 8a b c + 2b )x + (- 8a b c + 2b c)x) --R * --R log(x) --R + --R 2 2 2 2 2 3 3 2 2 --R (- 6a c + 2a b c)x + (- 7a b c + 2b c)x - 4a c + b c --R * --R +---------+ --R | 2 --R \|4a c - b --R / --R +---------+ --R 2 4 2 3 3 4 3 3 2 5 2 4 | 2 --R ((4a c - a b c )x + (4a b c - b c )x + (4a c - b c )x)\|4a c - b --R Type: Expression Integer --E --S 81 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (8) --R 2 --R 6a --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R + --R 2 --R 6a --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R / --R 2 --R a x + b x + c --R / --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 82 dd1:=expandLog cc1 --R --R (9) --R 2 --R 6a --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (8a c - 2a b )x --R + --R 3 --R 4a b c - b --R + --R 2 --R 6a --R * --R log --R +-----------+ --R 2 2 2 | 2 2 2 --R (2a x + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b + (- 8a c + 2a b )x --R + --R 3 --R - 4a b c + b --R + --R 2 2 --R - 12a log(a x + b x + c) --R / --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E --S 83 14:278 Schaums and Axiom differ by a constant ee1:=complexNormalize dd1 --R --R 2 3 2 2 --R 6a log(- 16a c + 4a b ) --R (10) --------------------------- --R +-----------+ --R 2 2 | 2 --R (4a c - b c)\|- 4a c + b --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.279~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^m(ax^2+bx+c)^n}}$} $$\begin{array}{lr} \displaystyle\int{\frac{1}{x^m(ax^2+bx+c)^n}}= &\displaystyle-\frac{1}{(m-1)cx^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{(m+2n-3)a}{(m-1)c}\int{\frac{1}{x^{m-2}(ax^2+bx+c)^n}}\\ &\\ &\displaystyle-\frac{(m+n-2)b}{(m-1)c}\int{\frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^n}} \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 84 14:279 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x^m*(a*x^2+b*x+c)^n),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | --------------------- d%N --R ++ m 2 n --I %N (c + %N b + %N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p71 \end{thebibliography} \end{document}