\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum11.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.237~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right)$$ <<*>>= )spool schaum11.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(sqrt(a^2-x^2)),x) --R --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R (1) - 2atan(----------------) --R x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=asin(x/a) --R --R x --R (2) asin(-) --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a x --R (3) - 2atan(----------------) - asin(-) --R x a --R Type: Expression Integer --E --S 4 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 5 dd:=atanrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R - \|- x + a + %i x + a x --R (5) %i log(-------------------------) - asin(-) --R +---------+ a --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 6 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (6) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 7 ee:=asinrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| a - \|- x + a + %i x + a --R (7) - %i log(--------------------) + %i log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 8 ff:=rootSimp ee --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R %i\|x - a - %i x - \|x - a + x - %i a --R (8) - %i log(-------------------) + %i log(-----------------------) --R a +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a + x + %i a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 9 14:238 Schaums and Axiom agree gg:=complexNormalize ff --R --R (9) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.238~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\sqrt{a^2-x^2}$$ <<*>>= )clear all --S 10 aa:=integrate(x/(sqrt(a^2-x^2)),x) --R --R --R 2 --R x --R (1) ---------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 11 bb:=-sqrt(a^2-x^2) --R --R +---------+ --R | 2 2 --R (2) - \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:238 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R (3) - a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.239~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 13 aa:=integrate(x^2/sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 2 2 4 \|- x + a - a --R (- 4a \|- x + a - 2a x + 4a )atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 3 2 | 2 2 3 3 --R (- x + 2a x)\|- x + a + 2a x - 2a x --R / --R +---------+ --R | 2 2 2 2 --R 4a\|- x + a + 2x - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 14 bb:=-(x*sqrt(a^2-x^2))/2+a^2/2*asin(x/a) --R --R +---------+ --R | 2 2 2 x --R - x\|- x + a + a asin(-) --R a --R (2) --------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 15 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 \|- x + a - a 2 x --R - 2a atan(----------------) - a asin(-) --R x a --R (3) --------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 16 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 17 dd:=atanrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 - \|- x + a + %i x + a 2 x --R %i a log(-------------------------) - a asin(-) --R +---------+ a --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (5) ----------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 18 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (6) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 19 ee:=asinrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| a 2 - \|- x + a + %i x + a --R - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 20 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 |- x + a 2 | 2 2 --R - %i a log(a |--------- - %i x) - %i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 21 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) - %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 22 14:239 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.240~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3~dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}}}= \frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{3}+a^2\sqrt{a^2-x^2} $$ <<*>>= )clear all --S 23 aa:=integrate(x^3/sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R +---------+ --R 4 | 2 2 6 2 4 --R 3a x \|- x + a + x - 3a x --R (1) --------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 2 3 --R (3x - 12a )\|- x + a - 9a x + 12a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 24 bb:=(a^2-x^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(a^2-x^2) --R --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 --R (- x - 2a )\|- x + a --R (2) ------------------------ --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 25 14:240 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 3 --R 2a --R (3) - --- --R 3 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.241~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}}}= \frac{1}{a}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 26 aa:=integrate(1/(x*sqrt(a^2-x^2)),x) --R --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R log(----------------) --R x --R (1) --------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 27 bb:=-1/a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + a --R log(----------------) --R x --R (2) - --------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 28 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R log(----------------) + log(----------------) --R x x --R (3) --------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 29 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R log(\|- x + a + a) + log(\|- x + a - a) - 2log(x) --R (4) ------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 30 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R 2log(-------) --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) - ------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 31 14:241 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R 2log(\|- 1 ) --R (6) ------------ --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.242~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2\sqrt{a^2-x^2}}}= \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a^2x} $$ <<*>>= )clear all --S 32 aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(a^2-x^2)),x) --R --R --R +---------+ --R | 2 2 2 2 --R a\|- x + a + x - a --R (1) ----------------------- --R +---------+ --R 2 | 2 2 3 --R a x\|- x + a - a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 33 bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(a^2*x) --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a --R (2) - ------------ --R 2 --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 34 14:242 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.243~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^3\sqrt{a^2-x^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3\sqrt{a^2-x^2}}}= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{2a^2x^2}+\frac{1}{2a^3} \sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 35 aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(a^2-x^2)),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 4 2 2 \|- x + a - a --R (2a x \|- x + a + x - 2a x )log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 2 3 | 2 2 2 2 4 --R (- a x + 2a )\|- x + a + 2a x - 2a --R / --R +---------+ --R 4 2 | 2 2 3 4 5 2 --R 4a x \|- x + a + 2a x - 4a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 36 bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(2*a^2*x^2)-1/(2*a^3)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 \|- x + a + a | 2 2 --R - x log(----------------) - a\|- x + a --R x --R (2) ----------------------------------------- --R 3 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 37 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R log(----------------) + log(----------------) --R x x --R (3) --------------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 38 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R log(\|- x + a + a) + log(\|- x + a - a) - 2log(x) --R (4) ------------------------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 39 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R log(-------) --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) - ------------ --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 40 14:243 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R log(\|- 1 ) --R (6) ----------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.244~~~~~$\displaystyle\int{\sqrt{a^2-x^2}}~dx$} $$\int{\sqrt{a^2-x^2}}= \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 41 aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 2 2 4 \|- x + a - a --R (- 4a \|- x + a - 2a x + 4a )atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 3 2 | 2 2 3 3 --R (x - 2a x)\|- x + a - 2a x + 2a x --R / --R +---------+ --R | 2 2 2 2 --R 4a\|- x + a + 2x - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 42 bb:=(x*sqrt(a^2-x^2))/2+a^2/2*asin(x/a) --R --R +---------+ --R | 2 2 2 x --R x\|- x + a + a asin(-) --R a --R (2) ------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 43 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 \|- x + a - a 2 x --R - 2a atan(----------------) - a asin(-) --R x a --R (3) --------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 44 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (4) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 45 dd:=asinrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| a 2 \|- x + a - a --R - %i a log(--------------------) - 2a atan(----------------) --R a x --R (5) ------------------------------------------------------------ --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 46 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 47 ee:=atanrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| a 2 - \|- x + a + %i x + a --R - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 48 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 |- x + a 2 | 2 2 --R - %i a log(a |--------- - %i x) - %i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 49 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) - %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 50 14:244 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.245~~~~~$\displaystyle\int{x\sqrt{a^2-x^2}}~dx$} $$\int{x\sqrt{a^2-x^2}}= \frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 51 aa:=integrate(x*sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R +---------+ --R 4 3 2 | 2 2 6 2 4 4 2 --R (- 3a x + 6a x )\|- x + a - x + 6a x - 6a x --R (1) -------------------------------------------------- --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 2 3 --R (3x - 12a )\|- x + a - 9a x + 12a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 52 bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/3 --R --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 --R (x - a )\|- x + a --R (2) --------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 53 14:245 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 3 --R a --R (3) - -- --R 3 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.246~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sqrt{a^2-x^2}}~dx$} $$\int{x^2\sqrt{a^2-x^2}}= \frac{x(a^2-x^2)^{3/2}}{4}+\frac{a^2x\sqrt{a^2-x^2}}{8}- \frac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 54 aa:=integrate(x^2*sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 5 2 7 | 2 2 4 4 6 2 8 --R ((- 8a x + 16a )\|- x + a - 2a x + 16a x - 16a ) --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 7 3 5 5 3 7 --R (2x - 17a x + 24a x - 8a x)\|- x + a - 8a x + 28a x - 28a x + 8a x --R / --R +---------+ --R 2 3 | 2 2 4 2 2 4 --R (32a x - 64a )\|- x + a + 8x - 64a x + 64a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 55 bb:=-(x*(a^2-x^2)^(3/2))/4+(a^2*x*sqrt(a^2-x^2))/8+a^4/8*asin(x/a) --R --R +---------+ --R 3 2 | 2 2 4 x --R (2x - a x)\|- x + a + a asin(-) --R a --R (2) ----------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 56 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 4 \|- x + a - a 4 x --R - 2a atan(----------------) - a asin(-) --R x a --R (3) --------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 57 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 58 dd:=atanrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 4 - \|- x + a + %i x + a 4 x --R %i a log(-------------------------) - a asin(-) --R +---------+ a --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (5) ----------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 59 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (6) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 60 ee:=asinrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 4 \| a 4 - \|- x + a + %i x + a --R - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 61 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 4 |- x + a 4 | 2 2 --R - %i a log(a |--------- - %i x) - %i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 4 | 2 2 4 4 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 62 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) - %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 4 | 2 2 4 4 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 63 14:246 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.247~~~~~$\displaystyle \int{x^3\sqrt{a^2-x^2}}~dx$} $$\int{x^3\sqrt{a^2-x^2}}= \frac{(a^2-x^2)^{5/2}}{5}+\frac{a^2(a^2-x^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 64 aa:=integrate(x^3*sqrt(a^2-x^2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 8 3 6 5 4 | 2 2 10 2 8 4 6 6 4 --R (- 15a x + 65a x - 60a x )\|- x + a - 3x + 40a x - 95a x + 60a x --R -------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 4 3 2 5 --R (15x - 180a x + 240a )\|- x + a - 75a x + 300a x - 240a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 65 bb:=(a^2-x^2)^(5/2)/5-(a^2*(a^2-x^2)^(3/2))/3 --R --R +---------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (3x - a x - 2a )\|- x + a --R (2) ------------------------------ --R 15 --R Type: Expression Integer --E --S 66 14:247 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 5 --R 2a --R (3) - --- --R 15 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.248~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}}= \sqrt{a^2-x^2}-a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 67 aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x,x) --R --R --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 2 \|- x + a - a 2 --R (a\|- x + a - a )log(----------------) - x --R x --R (1) ---------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 68 bb:=sqrt(a^2-x^2)-a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R \|- x + a + a | 2 2 --R (2) - a log(----------------) + \|- x + a --R x --R Type: Expression Integer --E --S 69 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R (3) a log(----------------) + a log(----------------) + a --R x x --R Type: Expression Integer --E --S 70 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (4) a log(\|- x + a + a) + a log(\|- x + a - a) - 2a log(x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 71 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R (5) - 2a log(-------) + a --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R Type: Expression Integer --E --S 72 14:248 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R (6) 2a log(\|- 1 ) + a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.249~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}}= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}+\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 73 aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x^2,x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 +---------+ --R | 2 2 \|- x + a - a | 2 2 2 2 --R (2x\|- x + a - 2a x)atan(----------------) + a\|- x + a + x - a --R x --R ----------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R x\|- x + a - a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 74 bb:=-sqrt(a^2-x^2)/x-asin(x/a) --R --R +---------+ --R | 2 2 x --R - \|- x + a - x asin(-) --R a --R (2) -------------------------- --R x --R Type: Expression Integer --E --S 75 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a x --R (3) 2atan(----------------) + asin(-) --R x a --R Type: Expression Integer --E --S 76 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (4) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 77 dd:=asinrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| a \|- x + a - a --R (5) %i log(--------------------) + 2atan(----------------) --R a x --R Type: Expression Complex Integer --E --S 78 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 79 ee:=atanrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| a - \|- x + a + %i x + a --R (7) %i log(--------------------) - %i log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 80 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R |- x + a | 2 2 --R %i log(a |--------- - %i x) + %i log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - %i log(\|- x + a - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 81 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R %i log(%i\|x - a + %i x - a) + %i log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - %i log(%i\|x - a - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 82 14:249 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.250~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^3}}= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{2x^2}+\frac{1}{2a} \sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 4 2 2 \|- x + a - a --R (- 2a x \|- x + a - x + 2a x )log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 2 3 | 2 2 2 2 4 --R (- a x + 2a )\|- x + a + 2a x - 2a --R / --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 4 3 2 --R 4a x \|- x + a + 2a x - 4a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 84 bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(2*x^2)+1/(2*a)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 \|- x + a + a | 2 2 --R x log(----------------) - a\|- x + a --R x --R (2) --------------------------------------- --R 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 85 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R - log(----------------) - log(----------------) --R x x --R (3) ----------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 86 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - log(\|- x + a + a) - log(\|- x + a - a) + 2log(x) --R (4) --------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 87 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R log(-------) --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) ------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 88 14:250 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R log(\|- 1 ) --R (6) - ----------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.251~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{(a^2-x^2)^{3/2}}}= -\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 89 aa:=integrate(1/(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R +---------+ --R | 2 2 --R - x\|- x + a + a x --R (1) -------------------------- --R +---------+ --R 3 | 2 2 2 2 4 --R a \|- x + a + a x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 90 bb:=x/(a^2*sqrt(a^2-x^2)) --R --R x --R (2) -------------- --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R a \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 91 14:251 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.252~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x}{(a^2-x^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 92 aa:=integrate(x/(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R 2 --R x --R (1) -------------------------- --R +---------+ --R 2 | 2 2 2 3 --R a \|- x + a + a x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 93 bb:=1/sqrt(a^2-x^2) --R --R 1 --R (2) ------------ --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 94 14:252 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 1 --R (3) - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.253~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{3/2}}}= \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}+\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 95 aa:=integrate(x^2/(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 +---------+ --R | 2 2 2 2 \|- x + a - a | 2 2 --R (2a\|- x + a + 2x - 2a )atan(----------------) - x\|- x + a + a x --R x --R ------------------------------------------------------------------------ --R +---------+ --R | 2 2 2 2 --R a\|- x + a + x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 96 bb:=x/sqrt(a^2-x^2)-asin(x/a) --R --R +---------+ --R x | 2 2 --R - asin(-)\|- x + a + x --R a --R (2) ------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 97 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a x --R (3) 2atan(----------------) + asin(-) --R x a --R Type: Expression Integer --E --S 98 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 99 dd:=atanrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R - \|- x + a + %i x + a x --R (5) - %i log(-------------------------) + asin(-) --R +---------+ a --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 100 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (6) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 101 ee:=asinrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| a - \|- x + a + %i x + a --R (7) %i log(--------------------) - %i log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 102 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R |- x + a | 2 2 --R %i log(a |--------- - %i x) + %i log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - %i log(\|- x + a - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 103 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R %i log(%i\|x - a + %i x - a) + %i log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - %i log(%i\|x - a - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 104 14:253 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.254~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{(a^2-x^2)^{3/2}}}= \sqrt{a^2-x^2}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 105 aa:=integrate(x^3/(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R 4 --R x --R (1) - ------------------------------------ --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 2 3 --R (x - 2a )\|- x + a - 2a x + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 106 bb:=sqrt(a^2-x^2)+a^2/sqrt(a^2-x^2) --R --R 2 2 --R - x + 2a --R (2) ------------ --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 107 14:254 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R (3) 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.255~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x(a^2-x^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}- \frac{1}{a^3}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 108 aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^(3/2)),x) --R --R --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 2 2 \|- x + a - a 2 --R (a\|- x + a + x - a )log(----------------) + x --R x --R (1) --------------------------------------------------- --R +---------+ --R 4 | 2 2 3 2 5 --R a \|- x + a + a x - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 109 bb:=1/(a^2*sqrt(a^2-x^2))-1/a^3*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 \|- x + a + a --R - \|- x + a log(----------------) + a --R x --R (2) --------------------------------------- --R +---------+ --R 3 | 2 2 --R a \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 110 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R log(----------------) + log(----------------) + 1 --R x x --R (3) ------------------------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 111 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R log(\|- x + a + a) + log(\|- x + a - a) - 2log(x) + 1 --R (4) ----------------------------------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 112 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R - 2log(-------) + 1 --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) ------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 113 14:255 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R 2log(\|- 1 ) + 1 --R (6) ---------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.256~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(a^2-x^2)^{3/2}}}= -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a^4x}-\frac{x}{a^4\sqrt{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 114 aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)^(3/2)),x) --R --R --R +---------+ --R 2 3 | 2 2 4 2 2 4 --R (4a x - 2a )\|- x + a + 2x - 5a x + 2a --R (1) --------------------------------------------- --R +---------+ --R 4 3 6 | 2 2 5 3 7 --R (a x - 2a x)\|- x + a - 2a x + 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 115 bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(a^4*x)+x/(a^4*sqrt(a^2-x^2)) --R --R 2 2 --R 2x - a --R (2) --------------- --R +---------+ --R 4 | 2 2 --R a x\|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 116 14:256 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.257~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3(a^2-x^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(a^2-x^2)^{3/2}}}= \frac{1}{2a^2x^2\sqrt{a^2-x^2}}- \frac{3}{2a^4\sqrt{a^2-x^2}}- \frac{3}{2a^5}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 117 aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 4 3 2 | 2 2 6 2 4 4 2 --R ((9a x - 12a x )\|- x + a + 3x - 15a x + 12a x ) --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (3a x + 5a x - 4a )\|- x + a + 2x - a x - 7a x + 4a --R / --R +---------+ --R 6 4 8 2 | 2 2 5 6 7 4 9 2 --R (6a x - 8a x )\|- x + a + 2a x - 10a x + 8a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 118 bb:=-1/(2*a^2*x^2*sqrt(a^2-x^2))+3/(2*a^4*sqrt(a^2-x^2))-3/(2*a^5)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 \|- x + a + a 2 3 --R - 3x \|- x + a log(----------------) + 3a x - a --R x --R (2) --------------------------------------------------- --R +---------+ --R 5 2 | 2 2 --R 2a x \|- x + a --R Type: Expression Integer --E --S 119 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R 3log(----------------) + 3log(----------------) + 2 --R x x --R (3) --------------------------------------------------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 120 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 3log(\|- x + a + a) + 3log(\|- x + a - a) - 6log(x) + 2 --R (4) ------------------------------------------------------------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 121 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R - 3log(-------) + 1 --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) ------------------- --R 5 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 122 14:257 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R 3log(\|- 1 ) + 1 --R (6) ---------------- --R 5 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.258~~~~~$\displaystyle\int{(a^2-x^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{(a^2-x^2)^{3/2}}= \frac{x(a^2-x^2)^{3/2}}{4}-\frac{3a^2x\sqrt{a^2-x^2}}{8}+ \frac{3}{8}a^4\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 123 aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 5 2 7 | 2 2 4 4 6 2 8 --R ((- 24a x + 48a )\|- x + a - 6a x + 48a x - 48a ) --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 7 3 5 5 3 --R (- 2x + 21a x - 56a x + 40a x)\|- x + a + 8a x - 44a x + 76a x --R + --R 7 --R - 40a x --R / --R +---------+ --R 2 3 | 2 2 4 2 2 4 --R (32a x - 64a )\|- x + a + 8x - 64a x + 64a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 124 bb:=(x*(a^2-x^2)^(3/2))/4+(3*a^2*x*sqrt(a^2-x^2))/8+3/8*a^4*asin(x/a) --R --R +---------+ --R 3 2 | 2 2 4 x --R (- 2x + 5a x)\|- x + a + 3a asin(-) --R a --R (2) --------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 125 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 4 \|- x + a - a 4 x --R - 6a atan(----------------) - 3a asin(-) --R x a --R (3) ---------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 126 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (4) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 127 ee:=asinrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 4 \| a 4 \|- x + a - a --R - 3%i a log(--------------------) - 6a atan(----------------) --R a x --R (5) ------------------------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 128 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 129 ff:=atanrule ee --R --R (7) --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 4 \| a 4 - \|- x + a + %i x + a --R - 3%i a log(--------------------) + 3%i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R ------------------------------------------------------------------------ --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 130 gg:=expandLog ff --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 4 |- x + a 4 | 2 2 --R - 3%i a log(a |--------- - %i x) - 3%i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 4 | 2 2 4 4 --R 3%i a log(\|- x + a - %i x - a) + 3%i a log(a) + 3%i a log(- 1) --R / --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 131 hh:=rootSimp gg --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R - 3%i a log(%i\|x - a + %i x - a) - 3%i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 4 | 2 2 4 4 --R 3%i a log(%i\|x - a - %i x - a) + 3%i a log(a) + 3%i a log(- 1) --R / --R 8 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 132 14:258 Schaums and Axiom agree ii:=complexNormalize hh --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.259~~~~~$\displaystyle\int{x(a^2-x^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x(a^2-x^2)^{3/2}}=\frac{(a^2-x^2)^{5/2}}{5}$$ <<*>>= )clear all --S 133 aa:=integrate(x*(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 8 3 6 5 4 7 2 | 2 2 10 2 8 4 6 --R (5a x - 30a x + 60a x - 40a x )\|- x + a + x - 15a x + 55a x --R + --R 6 4 8 2 --R - 80a x + 40a x --R / --R +---------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 4 3 2 5 --R (5x - 60a x + 80a )\|- x + a - 25a x + 100a x - 80a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 134 bb:=-(a^2-x^2)^(5/2)/5 --R --R +---------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (- x + 2a x - a )\|- x + a --R (2) ------------------------------- --R 5 --R Type: Expression Integer --E --S 135 14:259 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 5 --R a --R (3) - -- --R 5 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.260~~~~~$\displaystyle\int{x^2(a^2-x^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^2(a^2-x^2)^{3/2}}= \frac{x(a^2-x^2)^{5/2}}{6}+\frac{a^2x(a^2-x^2)^{3/2}}{24}- \frac{a^4x\sqrt{a^2-x^2}}{16}+ \frac{a^6}{16}\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 136 aa:=integrate(x^2*(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 7 4 9 2 11 | 2 2 6 6 8 4 --R (- 36a x + 192a x - 192a )\|- x + a - 6a x + 108a x --R + --R 10 2 12 --R - 288a x + 192a --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a --R atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 11 2 9 4 7 6 5 8 3 10 | 2 2 --R (- 8x + 158a x - 639a x + 982a x - 592a x + 96a x)\|- x + a --R + --R 11 3 9 5 7 7 5 9 3 11 --R 48a x - 388a x + 1062a x - 1266a x + 640a x - 96a x --R / --R +---------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 6 2 4 4 2 --R (288a x - 1536a x + 1536a )\|- x + a + 48x - 864a x + 2304a x --R + --R 6 --R - 1536a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 137 bb:=-(x*(a^2-x^2)^(5/2))/6+(a^2*x*(a^2-x^2)^(3/2))/24+(a^4*x*sqrt(a^2-x^2))/16+a^6/16*asin(x/a) --R --R +---------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 x --R (- 8x + 14a x - 3a x)\|- x + a + 3a asin(-) --R a --R (2) ------------------------------------------------ --R 48 --R Type: Expression Integer --E --S 138 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 6 \|- x + a - a 6 x --R - 2a atan(----------------) - a asin(-) --R x a --R (3) --------------------------------------- --R 16 --R Type: Expression Integer --E --S 139 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 140 dd:=atanrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 6 - \|- x + a + %i x + a 6 x --R %i a log(-------------------------) - a asin(-) --R +---------+ a --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (5) ----------------------------------------------- --R 16 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 141 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (6) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 142 ee:=asinrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 6 \| a 6 - \|- x + a + %i x + a --R - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 16 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 143 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 6 |- x + a 6 | 2 2 --R - %i a log(a |--------- - %i x) - %i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 6 | 2 2 6 6 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 16 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 144 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 6 | 2 2 6 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) - %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 6 | 2 2 6 6 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R / --R 16 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 145 14:260 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.261~~~~~$\displaystyle\int{x^3(a^2-x^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^3(a^2-x^2)^{3/2}}= \frac{(a^2-x^2)^{7/2}}{7}+\frac{a^2(a^2-x^2)^{5/2}}{5} $$ <<*>>= )clear all --S 146 aa:=integrate(x^3*(a^2-x^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R 12 3 10 5 8 7 6 9 4 | 2 2 14 --R (35a x - 336a x + 1015a x - 1260a x + 560a x )\|- x + a + 5x --R + --R 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 --R - 133a x + 721a x - 1575a x + 1540a x - 560a x --R / --R +---------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 6 3 4 --R (35x - 840a x + 2800a x - 2240a )\|- x + a - 245a x + 1960a x --R + --R 5 2 7 --R - 3920a x + 2240a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 147 bb:=(a^2-x^2)^(7/2)/7-(a^2*(a^2-x^2)^(5/2))/5 --R --R +---------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 --R (- 5x + 8a x - a x - 2a )\|- x + a --R (2) ---------------------------------------- --R 35 --R Type: Expression Integer --E --S 148 14:261 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 7 --R 2a --R (3) - --- --R 35 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.262~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x}}= \frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{3}-a^2\sqrt{a^2-x^2}+ a^3\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 149 aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2)/x,x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 3 2 5 | 2 2 4 2 6 \|- x + a - a --R ((3a x - 12a )\|- x + a - 9a x + 12a )log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 4 3 2 | 2 2 6 2 4 4 2 --R (3a x - 12a x )\|- x + a + x - 9a x + 12a x --R / --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 2 3 --R (3x - 12a )\|- x + a - 9a x + 12a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 150 bb:=(a^2-x^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(a^2-x^2)-a^3*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 3 \|- x + a + a 2 2 | 2 2 --R - 3a log(----------------) + (- x + 4a )\|- x + a --R x --R (2) ----------------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 151 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 3 \|- x + a + a 3 \|- x + a - a 3 --R 3a log(----------------) + 3a log(----------------) + 4a --R x x --R (3) --------------------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 152 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R 3 | 2 2 3 | 2 2 3 3 --R 3a log(\|- x + a + a) + 3a log(\|- x + a - a) - 6a log(x) + 4a --R (4) --------------------------------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 153 ee:=complexNormalize dd --R --R 3 x 3 --R - 6a log(-------) + 4a --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R (5) ----------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 154 14:262 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R 3 +---+ 3 --R 6a log(\|- 1 ) + 4a --R (6) -------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.263~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x^2}}= -\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x}+\frac{3x\sqrt{a^2-x^2}}{2}- \frac{3}{2}a^2\ln\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 155 aa:=integrate((a^2-x^2)^{3/2}/x^2,x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 3 4 | 2 2 3 3 5 \|- x + a - a --R ((6a x - 24a x)\|- x + a - 18a x + 24a x)atan(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (3a x + 2a x - 8a )\|- x + a + x - 3a x - 6a x + 8a --R / --R +---------+ --R 3 2 | 2 2 3 3 --R (2x - 8a x)\|- x + a - 6a x + 8a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 156 bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/x-(3*x*sqrt(a^2-x^2))/2-3/2*a^2*asin(x/a) --R --R +---------+ --R 2 2 | 2 2 2 x --R (- x - 2a )\|- x + a - 3a x asin(-) --R a --R (2) --------------------------------------- --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 157 cc:=aa-bb --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 \|- x + a - a 2 x --R 6a atan(----------------) + 3a asin(-) --R x a --R (3) -------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 158 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (4) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 159 dd:=asinrule cc --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| a 2 \|- x + a - a --R 3%i a log(--------------------) + 6a atan(----------------) --R a x --R (5) ----------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 160 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 161 ee:=atanrule dd --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R a |--------- - %i x +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| a 2 - \|- x + a + %i x + a --R 3%i a log(--------------------) - 3%i a log(-------------------------) --R a +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 162 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 |- x + a 2 | 2 2 --R 3%i a log(a |--------- - %i x) + 3%i a log(\|- x + a + %i x - a) --R | 2 --R \| a --R + --R +---------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R - 3%i a log(\|- x + a - %i x - a) - 3%i a log(a) - 3%i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 163 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R 3%i a log(%i\|x - a + %i x - a) + 3%i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 --R - 3%i a log(%i\|x - a - %i x - a) - 3%i a log(a) - 3%i a log(- 1) --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 164 14:263 Schaums and Axiom agree hh:=complexNormalize gg --R --R (10) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.264~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{x^3}}= -\frac{(a^2-x^2)^{3/2}}{2x^2}+\frac{3}{2}\sqrt{a^2-x^2}- \frac{3}{2}a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 165 aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 4 3 2 | 2 2 2 4 4 2 \|- x + a - a --R ((- 3a x + 12a x )\|- x + a + 9a x - 12a x )log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (4a x + 3a x - 4a )\|- x + a + 2x - 3a x - 5a x + 4a --R / --R +---------+ --R 4 2 2 | 2 2 4 3 2 --R (2x - 8a x )\|- x + a - 6a x + 8a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 166 bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/(2*x^2)-(3*sqrt(a^2-x^2))/2+3/2*a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x) --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 \|- x + a + a 2 2 | 2 2 --R 3a x log(----------------) + (- 2x - a )\|- x + a --R x --R (2) ----------------------------------------------------- --R 2 --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 167 cc:=aa-bb --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R - 3a log(----------------) - 3a log(----------------) - 2a --R x x --R (3) ---------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 168 dd:=expandLog cc --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 3a log(\|- x + a + a) - 3a log(\|- x + a - a) + 6a log(x) - 2a --R (4) ---------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 169 ee:=complexNormalize dd --R --R x --R (5) 3a log(-------) - a --R +----+ --R | 2 --R \|- x --R Type: Expression Integer --E --S 170 14:264 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=rootSimp ee --R --R +---+ --R (6) - 3a log(\|- 1 ) - a --R Type: Expression Integer --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp68-69 \end{thebibliography} \end{document}