\documentclass{article} \usepackage{axiom} \setlength{\textwidth}{400pt} \begin{document} \title{\$SPAD/src/input rich7.input} \author{Albert Rich and Timothy Daly} \maketitle \begin{abstract} \verb|(a+b x^n)^m (c+d x^n)^p (e+f x^n)^q| There are: \begin{itemize} \item 66 integrals in this file. \item 66 supplied "optimal results". \item 16 matching answers. \item 0 cases where Axiom answer differs from Rubi \item 8 cases where Axiom supplied 2 results. \item 0 cases that Axiom failed to integrate. \item 58 that contain expressions Axiom does not recognize. \end{itemize} \end{abstract} \eject \tableofcontents \eject \begin{chunk}{*} )set break resume )sys rm -f rich7.output )spool rich7.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 of 346 t0:=(a+b*x^2)^3/((c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)) --R --R --R 3 6 2 4 2 2 3 --R b x + 3a b x + 3a b x + a --R (1) ----------------------------- --R +--------+ --R 2 | 2 --R (d x + c)\|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 1 --S 2 of 346 r0:=1/2*b*(b*c-a*d)*(b*e-2*a*f)*atanh(x*sqrt(f)/sqrt(e+f*x^2))/_ (d^2*f^(3/2))+1/8*b*(3*b^2*e^2-8*a*b*e*f+8*a^2*f^2)*atanh(x*_ sqrt(f)/sqrt(e+f*x^2))/(d*f^(5/2))+b*(b*c-a*d)^2*atanh(x*_ sqrt(f)/sqrt(e+f*x^2))/(d^3*sqrt(f))-(b*c-a*d)^3*atan(x*_ sqrt(d*e-c*f)/(sqrt(c)*sqrt(e+f*x^2)))/(d^3*sqrt(c)*sqrt(d*e-_ c*f))-1/2*b^2*(b*c-a*d)*x*sqrt(e+f*x^2)/(d^2*f)-3/8*b^2*(b*e-_ 2*a*f)*x*sqrt(e+f*x^2)/(d*f^2)+1/4*b^2*x*(a+b*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/(d*f) --R --R --R (2) --R 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 --R ((24a b d - 24a b c d + 8b c )f + (- 12a b d + 4b c d)e f + 3b d e ) --R * --R +-+ --R +-----------+ +-+ x\|f --R \|- c f + d e \|c atanh(-----------) --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R +-----------+ --R 3 3 2 2 2 2 3 3 2 +-+ x\|- c f + d e --R (8a d - 24a b c d + 24a b c d - 8b c )f \|f atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|f x + e --R + --R 3 2 3 2 2 3 3 2 +-----------+ +-+ +-+ --R (2b d f x + ((12a b d - 4b c d)f - 3b d e)x)\|- c f + d e \|c \|f --R * --R +--------+ 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--R (c f - d e)x --R + --R +-------------+ +--------+ --R 2 3 2 | 2 +-+ | 2 --R (- b d f x - 2b d e x)\|- c f + c d e \|f \|f x + e --R + --R +-------------+ --R 2 3 2 | 2 +-+ +-+ --R (2b d f x + 2b d e x)\|- c f + c d e \|e \|f --R / --R +-------------+ +--------+ --R 2 | 2 +-+ +-+ | 2 --R 4d f\|- c f + c d e \|e \|f \|f x + e --R + --R +-------------+ --R 2 2 2 2 | 2 +-+ --R (- 2d f x - 4d e f)\|- c f + c d e \|f --R , --R --R +-------------+ +--------+ --R 2 2 | 2 +-+ | 2 --R ((16a b d - 8b c)f - 4b d e)\|- c f + c d e \|e \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 --R ((- 8a b d + 4b c)f + 2b d e f)x + (- 16a b d + 8b c)e f --R + --R 2 2 --R 4b d e --R * --R +-------------+ --R | 2 --R \|- c f + c d e --R * --R +--------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- f \|f x + e - \|- f \|e --R atan(------------------------------) --R f x --R + --R +--------+ --R 2 2 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (- 4a d + 8a b c d - 4b c )f\|- f \|e \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 --R ((2a d - 4a b c d + 2b c )f x + (4a d - 8a b c d + 4b c )e f) --R * --R +---+ --R \|- f --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x - c e)\|f x + e + (d e x + c e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- c f + c d e --R + --R +--------+ --R 2 2 2 2 +---+ +-+ | 2 --R (- 4a d + 8a b c d - 4b c )f\|- f \|e \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 --R ((2a d - 4a b c d + 2b c )f x + (4a d - 8a b c d + 4b c )e f) --R * --R +---+ --R \|- f --R * --R +-------------+ --R | 2 +-+ --R \|- c f + c d e \|e --R atan(--------------------) --R (c f - d e)x --R + --R +-------------+ +--------+ --R 2 3 2 | 2 +---+ | 2 --R (- b d f x - 2b d e x)\|- c f + c d e \|- f \|f x + e --R + --R +-------------+ --R 2 3 2 | 2 +---+ +-+ --R (2b d f x + 2b d e x)\|- c f + c d e \|- f \|e --R / --R +-------------+ +--------+ --R 2 | 2 +---+ +-+ | 2 --R 4d f\|- c f + c d e \|- f \|e \|f x + e --R + --R +-------------+ --R 2 2 2 2 | 2 +---+ --R (- 2d f x - 4d e f)\|- c f + c d e 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+-+ --R \|- c f + c d e \|- c f + d e \|c --R Type: Expression(Integer) --E 27 --S 28 of 346 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 28 )clear all --S 29 of 346 t0:=1/((a+b*x^2)*(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)) --R --R --R 1 --R (1) ----------------------------------------- --R +--------+ --R 4 2 | 2 --R (b d x + (a d + b c)x + a c)\|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 29 --S 30 of 346 r0:=b*atan(x*sqrt(b*e-a*f)/(sqrt(a)*sqrt(e+f*x^2)))/((b*c-a*d)*sqrt(a)*_ sqrt(b*e-a*f))-d*atan(x*sqrt(d*e-c*f)/(sqrt(c)*sqrt(e+f*x^2)))/_ ((b*c-a*d)*sqrt(c)*sqrt(d*e-c*f)) --R --R --R (2) --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- a f + b e --R - b\|- c f + d e \|c atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|f x + e --R + --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- c f + d e --R d\|- a f + b e \|a atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|f x + e --R / --R +-----------+ +-----------+ +-+ +-+ --R (a d - b c)\|- c f + d e \|- a f + b e \|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 30 --S 31 of 346 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R [ --R +-----------+ --R | 2 --R d\|a f - a b e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x - 2c e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((4c f - 4c d e f)x + (4c e f - 4c d e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2d x + 2c)\|e \|f x + e - d f x + (- c f - 2d e)x - 2c e --R + --R +-----------+ --R | 2 --R b\|c f - c d e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4a f - 2b e)x + 2a e)\|e \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (2a f - 2a b e f)x + (4a e f - 4a b e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2a f + b e f)x + (- 5a e f + 2b e )x - 2a e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((- 4a f + 4a b e f)x + (- 4a e f + 4a b e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2b x + 2a)\|e \|f x + e - b f x + (- a f - 2b e)x - 2a e --R / --R +-----------+ +-----------+ --R | 2 | 2 --R (2a d - 2b c)\|a f - a b e \|c f - c d e --R , --R --R +-------------+ --R | 2 --R d\|- a f + a b e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x - 2c e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((4c f - 4c d e f)x + (4c e f - 4c d e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2d x + 2c)\|e \|f x + e - d f x + (- c f - 2d e)x - 2c e --R + --R +-----------+ --R | 2 --R 2b\|c f - c d e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((a f - b e)x - a e)\|f x + e + (b e x + a e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- a f + a b e --R + --R +-------------+ --R +-----------+ | 2 +-+ --R | 2 \|- a f + a b e \|e --R 2b\|c f - c d e atan(--------------------) --R (a f - b e)x --R / --R +-------------+ +-----------+ --R | 2 | 2 --R (2a d - 2b c)\|- a f + a b e \|c f - c d e --R , --R --R +-------------+ --R | 2 --R b\|- c f + c d e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4a f - 2b e)x + 2a e)\|e \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (2a f - 2a b e f)x + (4a e f - 4a b e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2a f + b e f)x + (- 5a e f + 2b e )x - 2a e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((- 4a f + 4a b e f)x + (- 4a e f + 4a b e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2b x + 2a)\|e \|f x + e - b f x + (- a f - 2b e)x - 2a e --R + --R - --R +-----------+ --R | 2 --R 2d\|a f - a b e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x - c e)\|f x + e + (d e x + c e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- c f + c d e --R + --R +-------------+ --R +-----------+ | 2 +-+ --R | 2 \|- c f + c d e \|e --R - 2d\|a f - a b e atan(--------------------) --R (c f - d e)x --R / --R +-------------+ +-----------+ --R | 2 | 2 --R (2a d - 2b c)\|- c f + c d e \|a f - a b e --R , --R --R - --R +-------------+ --R | 2 --R d\|- a f + a b e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x - c e)\|f x + e + (d e x + c e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- c f + c d e --R + --R +-------------+ --R | 2 --R b\|- c f + c d e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((a f - b e)x - a e)\|f x + e + (b e x + a e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- a f + a b e --R + --R +-------------+ --R +-------------+ | 2 +-+ --R | 2 \|- a f + a b e \|e --R b\|- c f + c d e atan(--------------------) --R (a f - b e)x --R + --R +-------------+ --R +-------------+ | 2 +-+ --R | 2 \|- c f + c d e \|e --R - d\|- a f + a b e atan(--------------------) --R (c f - d e)x --R / --R +-------------+ +-------------+ --R | 2 | 2 --R (a d - b c)\|- c f + c d e \|- a f + a b e --R ] --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 31 --S 32 of 346 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R (4) --R +-----------+ --R +-----------+ +-----------+ +-+ +-+ | 2 --R d\|- c f + d e \|- a f + b e \|a \|c \|a f - a b e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x - 2c e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((4c f - 4c d e f)x + (4c e f - 4c d e )x)\|e --R / --R 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2 x\|- c f + d e --R - 2d\|- a f + a b e \|- a f + b e \|a \|c f - c d e atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|f x + e --R / --R +-------------+ --R +-----------+ | 2 +-----------+ +-+ +-+ --R (2a d - 2b c)\|- c f + d e \|- a f + a b e \|- a f + b e \|a \|c --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R Type: Expression(Integer) --E 34 --S 35 of 346 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 35 )clear all --S 36 of 346 t0:=1/((a+b*x^2)^2*(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)) --R --R --R 1 --R (1) --------------------------------------------------------------- --R +--------+ --R 2 6 2 4 2 2 2 | 2 --R (b d x + (2a b d + b c)x + (a d + 2a b c)x + a c)\|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 36 --S 37 of 346 r0:=1/2*b*(b*e-2*a*f)*atan(x*sqrt(b*e-a*f)/(sqrt(a)*sqrt(e+f*x^2)))/_ (a^(3/2)*(b*c-a*d)*(b*e-a*f)^(3/2))-b*d*atan(x*sqrt(b*e-a*f)/_ (sqrt(a)*sqrt(e+f*x^2)))/((b*c-a*d)^2*sqrt(a)*sqrt(b*e-a*f))+_ d^2*atan(x*sqrt(d*e-c*f)/(sqrt(c)*sqrt(e+f*x^2)))/((b*c-a*d)^2*_ sqrt(c)*sqrt(d*e-c*f))+1/2*b^2*x*sqrt(e+f*x^2)/(a*(b*c-a*d)*_ (b*e-a*f)*(a+b*x^2)) --R --R --R (2) --R 2 2 3 3 4 2 3 2 2 --R ((- 4a b d + 2a b c)f + (3a b d - b c)e)x + (- 4a b d + 2a b c)f --R + --R 2 2 3 --R (3a b d - a b c)e --R * --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- a f + b e --R \|- c f + d e \|c atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 3 2 2 2 +-----------+ +-+ --R ((2a b d f - 2a b d e)x + 2a d f - 2a b d e)\|- a f + b e \|a --R * --R +-----------+ --R x\|- c f + d e --R atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|f x + e --R + --R +--------+ --R 2 3 +-----------+ +-----------+ +-+ +-+ | 2 --R (a b d - b c)x\|- c f + d e \|- a f + b e \|a \|c \|f x + e --R / --R 4 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 4 2 2 --R ((2a b d - 4a b c d + 2a b c )f + (- 2a b d + 4a b c d - 2a b c )e)x --R + --R 5 2 4 3 2 2 4 2 3 2 2 3 2 --R (2a d - 4a b c d + 2a b c )f + (- 2a b d + 4a b c d - 2a b c )e --R * --R +-----------+ +-----------+ +-+ +-+ --R \|- c f + d e \|- a f + b e \|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 37 --S 38 of 346 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R [ --R +-----------+ --R 2 2 2 2 2 3 2 2 2 +-+ | 2 --R ((4a b d f - 4a b d e)x + 4a d f - 4a b d e)\|e \|a f - a b e --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 4 --R (- 2a b d f + 2a b d e f)x --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 --R (- 2a d f - 2a b d e f + 4a b d e )x - 4a d e f + 4a b d e --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|a f - a b e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x - 2c e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((4c f - 4c d e f)x + (4c e f - 4c d e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2d x + 2c)\|e \|f x + e - d f x + (- c f - 2d e)x - 2c e --R + --R 2 2 3 3 4 2 --R ((8a b d - 4a b c)f + (- 6a b d + 2b c)e)x --R + --R 3 2 2 2 2 3 --R (8a b d - 4a b c)f + (- 6a b d + 2a b c)e --R * --R +-----------+ +--------+ --R +-+ | 2 | 2 --R \|e \|c f - c d e \|f x + e --R + --R 2 2 3 2 3 4 4 --R ((- 4a b d + 2a b c)f + (3a b d - b c)e f)x --R + --R 3 2 2 2 2 2 3 --R (- 4a b d + 2a b c)f + (- 5a b d + 3a b c)e f --R + --R 3 4 2 --R (6a b d - 2b c)e --R * --R 2 --R x --R + --R 3 2 2 2 2 3 2 --R (- 8a b d + 4a b c)e f + (6a b d - 2a b c)e --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4a f - 2b e)x + 2a e)\|e \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (2a f - 2a b e f)x + (4a e f - 4a b e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2a f + b e f)x + (- 5a e f + 2b e )x - 2a e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|a f - a b e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((- 4a f + 4a b e f)x + (- 4a e f + 4a b e 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4a b c )f --R + --R 4 2 3 2 2 3 2 --R (- 4a b d + 8a b c d - 4a b c )e f --R + --R 3 2 2 2 3 4 2 2 --R (8a b d - 16a b c d + 8a b c )e --R * --R 2 --R x --R + --R 5 2 4 3 2 2 --R (- 8a d + 16a b c d - 8a b c )e f --R + --R 4 2 3 2 2 3 2 2 --R (8a b d - 16a b c d + 8a b c )e --R * --R +-----------+ +-----------+ --R | 2 | 2 --R \|a f - a b e \|c f - c d e --R , --R --R +-------------+ --R 2 2 2 2 2 3 2 2 2 | 2 +-+ --R ((2a b d f - 2a b d e)x + 2a d f - 2a b d e)\|- a f + a b e \|e --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 2 2 2 2 4 --R (- a b d f + a b d e f)x --R + --R 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 --R (- a d f - a b d e f + 2a b d e )x - 2a d e f + 2a b d e --R * --R +-------------+ --R | 2 --R \|- a f + a b e --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x 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2 2 3 2 2 2 3 2 --R ((4a d - 8a b c d + 4a b c )f + (- 4a b d + 8a b c d - 4a b c )e) --R * --R +-----------+ +-----------+ --R +-----------+ +-----------+ +-+ +-+ | 2 | 2 --R \|- c f + d e \|- a f + b e \|a \|c \|a f - a b e \|c f - c d e --R Type: Expression(Integer) --E 39 --S 40 of 346 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 40 --S 41 of 346 m0b:=a0.2-r0 --R --R --R (6) --R +-------------+ --R 2 2 2 +-----------+ | 2 +-----------+ +-+ +-+ --R (a d f - a b d e)\|- c f + d e \|- a f + a b e \|- a f + b e \|a \|c --R * --R log --R +-----------+ --R 2 +-+ | 2 --R ((4c f - 2d e)x + 2c e)\|e \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 --R (- 2c f + 2c d e f)x + (- 4c e f + 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|f x + e --R + --R 2 4 2 2 2 --R ((- 2c f + d e f)x + (- 5c e f + 2d e )x - 2c e ) --R * --R +-----------+ --R | 2 --R \|c f - c d e --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((4c f - 4c d e f)x + (4c e f - 4c d e )x)\|e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2d x + 2c)\|e \|f x + e - d f x + (- c f - 2d e)x - 2c e --R + --R 2 2 2 3 +-----------+ +-----------+ --R ((4a b d - 2a b c)f + (- 3a b d + b c)e)\|- c f + d e \|- a f + b e --R * --R +-----------+ --R +-+ +-+ | 2 --R \|a \|c \|c f - c d e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((a f - b e)x - a e)\|f x + e + (b e x + a e)\|e --R atan(-----------------------------------------------------) --R +-------------+ --R 3 | 2 --R f x \|- a f + a b e --R + --R 2 2 2 3 +-----------+ +-----------+ --R ((4a b d - 2a b c)f + (- 3a b d + b c)e)\|- c f + d e \|- a f + b e --R * --R +-------------+ --R +-----------+ | 2 +-+ --R +-+ +-+ | 2 \|- a f + a b e \|e --R \|a \|c \|c f - c d e atan(--------------------) --R (a f - b e)x --R + --R +-------------+ --R 2 2 2 3 +-----------+ | 2 --R ((4a b d - 2a b c)f + (- 3a b d + b c)e)\|- c f + d e \|- a f + a b e --R * --R +-----------+ +-----------+ --R +-+ | 2 x\|- a f + b e --R \|c \|c f - c d e atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|a \|f x + e --R + --R +-------------+ +-----------+ --R 2 2 2 | 2 +-----------+ +-+ | 2 --R (- 2a d f + 2a b d e)\|- a f + a b e \|- a f + b e \|a \|c f - c d e --R * --R +-----------+ --R x\|- c f + d e --R atan(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|f x + e --R / --R 4 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 --R ((2a d - 4a b c d + 2a b c )f + (- 2a b d + 4a b c d - 2a b c )e) --R * --R +-------------+ +-----------+ --R +-----------+ | 2 +-----------+ +-+ +-+ | 2 --R \|- c f + d e \|- a f + a b e \|- a f + b e \|a \|c \|c f - c d e --R Type: Expression(Integer) --E 41 --S 42 of 346 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 42 )clear all --S 43 of 346 t0:=(a+b*x^2)*sqrt(c+d*x^2)/(e+f*x^2) --R --R --R +--------+ --R 2 | 2 --R (b x + a)\|d x + c --R (1) --------------------- --R 2 --R f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 43 --S 44 of 346 r0:=-1/2*(2*b*d*e-b*c*f-2*a*d*f)*atanh(x*sqrt(d)/sqrt(c+d*x^2))/_ (f^2*sqrt(d))+(b*e-a*f)*atanh(x*sqrt(d*e-c*f)/(sqrt(e)*_ sqrt(c+d*x^2)))*sqrt(d*e-c*f)/(f^2*sqrt(e))+1/2*b*x*sqrt(c+d*x^2)/f --R --R --R (2) --R +-+ --R +-+ x\|d --R ((2a d + b c)f - 2b d e)\|e atanh(-----------) --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- c f + d e --R (- 2a f + 2b e)\|- c f + d e \|d atanh(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|e \|d x + c --R + --R +--------+ --R +-+ +-+ | 2 --R b f x\|d \|e \|d x + c --R / --R 2 +-+ +-+ --R 2f \|d \|e --R Type: Expression(Integer) --E 44 --S 45 of 346 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R [ --R +--------+ --R +-+ | 2 --R ((4a d + 2b c)f - 4b d e)\|c \|d x + c --R + --R 2 2 2 2 --R ((- 2a d - b c d)f + 2b d e)x + (- 4a c d - 2b c )f + 4b c d e --R * --R +--------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (\|c \|d - d x)\|d x + c + (- d x - c)\|d + d x\|c --R log(--------------------------------------------------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c - c --R + --R +-----------+ +--------+ --R |- c f + d e +-+ +-+ | 2 --R (2a f - 2b e) |----------- \|c \|d \|d x + c --R \| e --R + --R +-----------+ --R 2 |- c f + d e +-+ --R ((- a d f + b d e)x - 2a c f + 2b c e) |----------- \|d --R \| e --R * --R log --R 2 +-+ --R ((- 2c f + 4d e)x + 2c e)\|c --R + --R +-----------+ --R 3 |- c f + d e --R (2d e x + 4c e x) |----------- --R \| e --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +-----------+ --R 3 |- c f + d e +-+ 2 4 --R (- 4d e x - 4c e x) |----------- \|c + (c d f - 2d e)x --R \| e --R + --R 2 2 2 --R (2c f - 5c d e)x - 2c e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2f x + 2e)\|c \|d x + c - d f x + (- 2c f - d e)x - 2c e --R + --R +--------+ --R 3 +-+ | 2 3 +-+ +-+ --R (- b d f x - 2b c f x)\|d \|d x + c + (2b d f x + 2b c f x)\|c \|d --R / --R +--------+ --R 2 +-+ +-+ | 2 2 2 2 +-+ --R 4f \|c \|d \|d x + c + (- 2d f x - 4c f )\|d --R , --R --R +--------+ --R +-+ | 2 --R ((4a d + 2b c)f - 4b d e)\|c \|d x + c --R + --R 2 2 2 2 --R ((- 2a d - b c d)f + 2b d e)x + (- 4a c d - 2b c )f + 4b c d e --R * --R +--------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (\|c \|d - d x)\|d x + c + (- d x - c)\|d + d x\|c --R log(--------------------------------------------------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c - c --R + --R +---------+ +--------+ --R +-+ +-+ |c f - d e | 2 --R (4a f - 4b e)\|c \|d |--------- \|d x + c --R \| e --R + --R +---------+ --R 2 +-+ |c f - d e --R ((- 2a d f + 2b d e)x - 4a c f + 4b c e)\|d |--------- --R \| e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x + c e)\|d x + c + (- c f x - c e)\|c --R atan(-------------------------------------------------------) --R +---------+ --R 3 |c f - d e --R d e x |--------- --R \| e --R + --R +---------+ +--------+ --R +-+ +-+ |c f - d e | 2 --R (4a f - 4b e)\|c \|d |--------- \|d x + c --R \| e --R + --R +---------+ --R 2 +-+ |c f - d e --R ((- 2a d f + 2b d e)x - 4a c f + 4b c e)\|d |--------- --R \| e --R * --R +-+ --R \|c --R atan(-------------) --R +---------+ --R |c f - d e --R x |--------- --R \| e --R + --R 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--R ((- 4a d - 2b c d)f + 4b d e)x + (- 8a c d - 4b c )f + 8b c d e --R * --R +--------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- d \|d x + c - \|- d \|c --R atan(------------------------------) --R d x --R + --R +--------+ --R 3 +---+ | 2 --R (- b d f x - 2b c f x)\|- d \|d x + c --R + --R 3 +---+ +-+ --R (2b d f x + 2b c f x)\|- d \|c --R / --R +--------+ --R 2 +---+ +-+ | 2 2 2 2 +---+ --R 4f \|- d \|c \|d x + c + (- 2d f x - 4c f )\|- d --R , --R --R +--------+ --R +-+ | 2 --R ((8a d + 4b c)f - 8b d e)\|c \|d x + c --R + --R 2 2 2 2 --R ((- 4a d - 2b c d)f + 4b d e)x + (- 8a c d - 4b c )f + 8b c d e --R * --R +--------+ --R +---+ | 2 +---+ +-+ --R \|- d \|d x + c - \|- d \|c --R atan(------------------------------) --R d x --R + --R +---------+ +--------+ --R +---+ +-+ |c f - d e | 2 --R (4a f - 4b e)\|- d \|c |--------- \|d x + c --R \| e --R + --R +---------+ --R 2 +---+ |c f - d e --R ((- 2a d f + 2b d e)x - 4a c f + 4b c e)\|- d |--------- --R \| e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x + c e)\|d x + c + (- c f x - c e)\|c --R atan(-------------------------------------------------------) --R +---------+ --R 3 |c f - d e --R d e x |--------- --R \| e --R + --R +---------+ +--------+ --R +---+ +-+ |c f - d e | 2 --R (4a f - 4b e)\|- d \|c |--------- \|d x + c --R \| e --R + --R +---------+ --R 2 +---+ |c f - d e --R ((- 2a d f + 2b d e)x - 4a c f + 4b c e)\|- d |--------- --R \| e --R * --R +-+ --R \|c --R atan(-------------) --R +---------+ --R |c f - d e --R x |--------- --R \| e --R + --R +--------+ --R 3 +---+ | 2 --R (- b d f x - 2b c f x)\|- d \|d x + c --R + --R 3 +---+ +-+ --R (2b d f x + 2b c f x)\|- d \|c --R / --R +--------+ --R 2 +---+ +-+ | 2 2 2 2 +---+ --R 4f \|- d \|c \|d x + c + (- 2d f x - 4c f )\|- d --R ] --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 45 --S 46 of 346 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R (4) --R +-+ --R ((2a d + b c)f - 2b d e)\|e --R * --R +--------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (\|c \|d - d x)\|d x + c + (- d x - c)\|d + d x\|c --R log(--------------------------------------------------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c - c --R + --R +-----------+ --R |- c f + d e +-+ +-+ --R (a f - b e) |----------- \|d \|e --R \| e --R * --R log --R 2 +-+ --R ((- 2c f + 4d e)x + 2c e)\|c --R + --R +-----------+ --R 3 |- c f + d e --R (2d e x + 4c e x) |----------- --R \| e --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +-----------+ --R 3 |- c f + d e +-+ 2 4 --R (- 4d e x - 4c e x) |----------- \|c + (c d f - 2d e)x --R \| e --R + --R 2 2 2 --R (2c f - 5c d e)x - 2c e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2f x + 2e)\|c \|d x + c - d f x + (- 2c f - d e)x - 2c e --R + --R +-+ --R +-+ x\|d --R ((- 2a d - b c)f + 2b d e)\|e atanh(-----------) --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- c f + d e --R (2a f - 2b e)\|- c f + d e \|d atanh(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|e \|d x + c --R / --R 2 +-+ +-+ --R 2f \|d \|e --R Type: Expression(Integer) --E 46 --S 47 of 346 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 47 --S 48 of 346 m0b:=a0.2-r0 --R --R --R (6) --R +-+ --R ((2a d + b c)f - 2b d e)\|e --R * --R +--------+ --R +-+ +-+ | 2 2 +-+ +-+ --R (\|c \|d - d x)\|d x + c + (- d x - c)\|d + d x\|c --R log(--------------------------------------------------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c - c --R + --R +-+ --R +-+ x\|d --R ((- 2a d - b c)f + 2b d e)\|e atanh(-----------) --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +-----------+ --R +-----------+ +-+ x\|- c f + d e --R (2a f - 2b e)\|- c f + d e \|d atanh(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|e \|d x + c --R + --R +---------+ --R +-+ +-+ |c f - d e --R (2a f - 2b e)\|d \|e |--------- --R \| e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x + c e)\|d x + c + (- c f x - c e)\|c --R atan(-------------------------------------------------------) --R +---------+ --R 3 |c f - d e --R d e x |--------- --R \| e --R + --R +---------+ +-+ --R +-+ +-+ |c f - d e \|c --R (2a f - 2b e)\|d \|e |--------- atan(-------------) --R \| e +---------+ --R |c f - d e --R x |--------- --R \| e --R / --R 2 +-+ +-+ --R 2f \|d \|e --R Type: Expression(Integer) --E 48 --S 49 of 346 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 49 )clear all --S 50 of 346 t0:=(a+b*x^2)/((e+f*x^2)^2*sqrt(c+d*x^2)) --R --R --R 2 --R b x + a --R (1) -------------------------------- --R +--------+ --R 2 4 2 2 | 2 --R (f x + 2e f x + e )\|d x + c --R Type: Expression(Integer) --E 50 --S 51 of 346 r0:=-1/2*(b*c*e-2*a*d*e+a*c*f)*atanh(x*sqrt(d*e-c*f)/(sqrt(e)*_ sqrt(c+d*x^2)))/(e^(3/2)*(d*e-c*f)^(3/2))+1/2*(b*e-a*f)*x*_ sqrt(c+d*x^2)/(e*(d*e-c*f)*(e+f*x^2)) --R --R --R (2) --R 2 2 2 --R ((a c f + (- 2a d + b c)e f)x + a c e f + (- 2a d + b c)e ) --R * --R +-----------+ --R x\|- c f + d e --R atanh(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|e \|d x + c --R + --R +--------+ --R +-----------+ +-+ | 2 --R (a f - b e)x\|- c f + d e \|e \|d x + c --R / --R 2 2 2 2 3 +-----------+ +-+ --R ((2c e f - 2d e f)x + 2c e f - 2d e )\|- c f + d e \|e --R Type: Expression(Integer) --E 51 --S 52 of 346 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R [ --R 2 2 2 --R ((2a c f + (- 4a d + 2b c)e f)x + 2a c e f + (- 4a d + 2b c)e ) --R * --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c --R + --R 2 2 4 --R (- a c d f + (2a d - b c d)e f)x --R + --R 2 2 2 2 2 2 2 --R (- 2a c f + (3a c d - 2b c )e f + (2a d - b c d)e )x - 2a c e f --R + --R 2 2 --R (4a c d - 2b c )e --R * --R log --R +--------------+ --R 2 | 2 +-+ --R ((- 2c f + 4d e)x + 2c e)\|- c e f + d e \|c --R + --R 2 2 3 2 2 --R (2c d e f - 2d e )x + (4c e f - 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((- 4c d e f + 4d e )x + (- 4c e f + 4c d e )x)\|c --R + --R +--------------+ --R 2 4 2 2 2 | 2 --R ((c d f - 2d e)x + (2c f - 5c d e)x - 2c e)\|- c e f + d e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2f x + 2e)\|c \|d x + c - d f x + (- 2c f - d e)x - 2c e --R + --R +--------------+ --R 3 | 2 --R ((- 2a d f + 2b d e)x + (- 4a c f + 4b c e)x)\|- c e f + d e --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R +--------------+ --R 3 | 2 +-+ --R ((4a d f - 4b d e)x + (4a c f - 4b c e)x)\|- c e f + d e \|c --R / --R +--------------+ +--------+ --R 2 2 2 2 3 | 2 +-+ | 2 --R ((8c e f - 8d e f)x + 8c e f - 8d e )\|- c e f + d e \|c \|d x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 --R (- 4c d e f + 4d e f)x + (- 8c e f + 4c d e f + 4d e )x --R + --R 2 2 3 --R - 8c e f + 8c d e --R * --R +--------------+ --R | 2 --R \|- c e f + d e --R , --R --R 2 2 2 --R ((2a c f + (- 4a d + 2b c)e f)x + 2a c e f + (- 4a d + 2b c)e ) --R * --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c --R + --R 2 2 4 --R (- a c d f + (2a d - b c d)e f)x --R + --R 2 2 2 2 2 2 2 --R (- 2a c f + (3a c d - 2b c )e f + (2a d - b c d)e )x - 2a c e f --R + --R 2 2 --R (4a c d - 2b c )e --R * --R +--------+ --R 2 | 2 2 +-+ --R ((c f - d e)x + c e)\|d x + c + (- c f x - c e)\|c --R atan(-------------------------------------------------------) --R +------------+ --R 3 | 2 --R d x \|c e f - d e --R + --R 2 2 2 --R ((2a c f + (- 4a d + 2b c)e f)x + 2a c e f + (- 4a d + 2b c)e ) --R * --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|d x + c --R + --R 2 2 4 --R (- a c d f + (2a d - b c d)e f)x --R + --R 2 2 2 2 2 2 2 --R (- 2a c f + (3a c d - 2b c )e f + (2a d - b c d)e )x - 2a c e f --R + --R 2 2 --R (4a c d - 2b c )e --R * --R +------------+ --R +-+ | 2 --R \|c \|c e f - d e --R atan(-------------------) --R (c f - d e)x --R + --R +------------+ +--------+ --R 3 | 2 | 2 --R ((- a d f + b d e)x + (- 2a c f + 2b c e)x)\|c e f - d e \|d x + c --R + --R +------------+ --R 3 +-+ | 2 --R ((2a d f - 2b d e)x + (2a c f - 2b c e)x)\|c \|c e f - d e --R / --R +------------+ +--------+ --R 2 2 2 2 3 +-+ | 2 | 2 --R ((4c e f - 4d e f)x + 4c e f - 4d e )\|c \|c e f - d e \|d x + c --R + --R 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 --R (- 2c d e f + 2d e f)x + (- 4c e f + 2c d e f + 2d e )x --R + --R 2 2 3 --R - 4c e f + 4c d e --R * --R +------------+ --R | 2 --R \|c e f - d e --R ] --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 52 --S 53 of 346 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R (4) --R +-----------+ +-+ --R (a c f + (- 2a d + b c)e)\|- c f + d e \|e --R * --R log --R +--------------+ --R 2 | 2 +-+ --R ((- 2c f + 4d e)x + 2c e)\|- c e f + d e \|c --R + --R 2 2 3 2 2 --R (2c d e f - 2d e )x + (4c e f - 4c d e )x --R * --R +--------+ --R | 2 --R \|d x + c --R + --R 2 2 3 2 2 +-+ --R ((- 4c d e f + 4d e )x + (- 4c e f + 4c d e )x)\|c --R + --R +--------------+ --R 2 4 2 2 2 | 2 --R ((c d f - 2d e)x + (2c f - 5c d e)x - 2c e)\|- c e f + d e --R / --R +--------+ --R 2 +-+ | 2 4 2 --R (2f x + 2e)\|c \|d x + c - d f x + (- 2c f - d e)x - 2c e --R + --R +--------------+ +-----------+ --R | 2 x\|- c f + d e --R (- 2a c f + (4a d - 2b c)e)\|- c e f + d e atanh(---------------) --R +--------+ --R +-+ | 2 --R \|e \|d x + c --R / --R +--------------+ --R 2 | 2 +-----------+ +-+ --R (4c e f - 4d 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(7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 56 )clear all --S 57 of 346 t0:=(a+b*x^2)*(c+d*x^2)^(3/2)*(e+f*x^2)^(3/2) --R --R --R (1) --R 6 4 2 --R (b d f x + ((a d + b c)f + b d e)x + (a c f + (a d + b c)e)x + a c e) --R * --R +--------+ +--------+ --R | 2 | 2 --R \|d x + c \|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 57 --S 58 of 346 --r0:=1/9*b*x*(c+d*x^2)^(5/2)*(e+f*x^2)^(3/2)/d+1/315*(18*a*d*f*(4*d*e-_ -- c*f)+b*(3*d^2*e^2-17*c*d*e*f+8*c^2*f^2))*x*(c+d*x^2)^(3/2)*sqrt(e+_ -- f*x^2)/(d^2*f)+1/63*(3*b*d*e-4*b*c*f+9*a*d*f)*x*(c+d*x^2)^(5/2)*_ -- sqrt(e+f*x^2)/d^2+1/315*(9*a*d*f*(d^2*e^2+9*c*d*e*f-2*c^2*f^2)-_ -- b*(4*d^3*e^3-9*c*d^2*e^2*f+21*c^2*d*e*f^2-8*c^3*f^3))*x*sqrt(c+_ -- d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/(d^2*f^2)-1/315*(18*a*d*f*(d^3*e^3-5*c*d^2*_ -- e^2*f-5*c^2*d*e*f^2+c^3*f^3)-b*(8*d^4*e^4-25*c*d^3*e^3*f+18*c^2*_ -- d^2*e^2*f^2-25*c^3*d*e*f^3+8*c^4*f^4))*elliptic_e(asin(x*sqrt(-f)/_ -- sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(e)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt((e+f*x^2)/e)/(d^3*_ -- (-f)^(5/2)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2))+1/315*c*(d*e-c*f)*_ -- (9*a*d*f*(d^2*e^2+9*c*d*e*f-2*c^2*f^2)-b*(4*d^3*e^3-9*c*d^2*e^2*f+_ -- 21*c^2*d*e*f^2-8*c^3*f^3))*elliptic_f(asin(x*sqrt(-f)/sqrt(e)),_ -- d*e/(c*f))*sqrt(e)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt((e+f*x^2)/e)/_ -- (d^3*(-f)^(5/2)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)) --E 58 --S 59 of 346 --a0:=integrate(t0,x) --E 59 --S 60 of 346 --m0:=a0-r0 --E 60 --S 61 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 61 )clear all --S 62 of 346 t0:=(a+b*x^2)*(c+d*x^2)^(1/2)*(e+f*x^2)^(3/2) --R --R --R +--------+ +--------+ --R 4 2 | 2 | 2 --R (1) (b f x + (a f + b e)x + a e)\|d x + c \|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 62 --S 63 of 346 --r0:=1/7*b*x*(c+d*x^2)^(3/2)*(e+f*x^2)^(3/2)/d+1/35*(3*b*d*e-4*b*c*f+_ -- 7*a*d*f)*x*(c+d*x^2)^(3/2)*sqrt(e+f*x^2)/d^2+1/105*(14*a*d*f*(3*d*e-_ -- c*f)+b*(3*d^2*e^2-15*c*d*e*f+8*c^2*f^2))*x*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+_ -- f*x^2)/(d^2*f)-1/105*(7*a*d*f*(3*d^2*e^2+7*c*d*e*f-2*c^2*f^2)-_ -- b*(6*d^3*e^3-9*c*d^2*e^2*f+19*c^2*d*e*f^2-8*c^3*f^3))*_ -- 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of 346 --m0:=a0-r0 --E 90 --S 91 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 91 )clear all --S 92 of 346 t0:=(a+b*x^2)*(c+d*x^2)^(3/2)*(e+f*x^2)^(1/2) --R --R --R +--------+ +--------+ --R 4 2 | 2 | 2 --R (1) (b d x + (a d + b c)x + a c)\|d x + c \|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 92 --S 93 of 346 --r0:=1/35*(b*d*e-2*b*c*f+7*a*d*f)*x*(c+d*x^2)^(3/2)*sqrt(e+f*x^2)/(d*f)+_ -- 1/7*b*x*(c+d*x^2)^(5/2)*sqrt(e+f*x^2)/d+1/105*(7*a*d*f*(d*e+3*c*f)-_ -- b*(4*d^2*e^2-6*c*d*e*f+6*c^2*f^2))*x*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/_ -- (d*f^2)-1/105*(7*a*d*f*(2*d^2*e^2-7*c*d*e*f-3*c^2*f^2)-b*(8*d^3*e^3-_ -- 19*c*d^2*e^2*f+9*c^2*d*e*f^2-6*c^3*f^3))*elliptic_e(asin(x*_ -- sqrt(-f)/sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(e)*sqrt(c+d*x^2)*_ -- sqrt((e+f*x^2)/e)/(d^2*(-f)^(5/2)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2))+_ -- 1/105*c*(d*e-c*f)*(7*a*d*f*(d*e+3*c*f)-b*(4*d^2*e^2-6*c*d*e*f+_ -- 6*c^2*f^2))*elliptic_f(asin(x*sqrt(-f)/sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(e)*_ -- sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt((e+f*x^2)/e)/(d^2*(-f)^(5/2)*sqrt(c+d*x^2)*_ -- sqrt(e+f*x^2)) 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of 346 --a0:=integrate(t0,x) --E 194 --S 195 of 346 --m0:=a0-r0 --E 195 --S 196 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 196 )clear all --S 197 of 346 t0:=(a+b*x^2)*sqrt(2+d*x^2)*sqrt(3+f*x^2) --R --R --R +--------+ +--------+ --R 2 | 2 | 2 --R (1) (b x + a)\|d x + 2 \|f x + 3 --R Type: Expression(Integer) --E 197 --S 198 of 346 --r0:=-1/15*(5*a*d*f*(3*d+2*f)-2*b*(9*d^2-6*d*f+4*f^2))*_ -- elliptic_e(asin(x*sqrt(-f)/sqrt(3)),3/2*d/f)*sqrt(2)/(d^2*_ -- (-f)^(3/2))-1/15*(3*d-2*f)*(3*b*d-4*b*f+5*a*d*f)*elliptic_f(_ -- asin(x*sqrt(-f)/sqrt(3)),3/2*d/f)*sqrt(2)/(d^2*(-f)^(3/2))+_ -- 1/5*b*x*(2+d*x^2)^(3/2)*sqrt(3+f*x^2)/d+1/15*(3*b*d-4*b*f+5*a*d*f)*_ -- x*sqrt(2+d*x^2)*sqrt(3+f*x^2)/(d*f) --E 198 --S 199 of 346 --a0:=integrate(t0,x) --E 199 --S 200 of 346 --m0:=a0-r0 --E 200 --S 201 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 201 )clear all --S 202 of 346 t0:=(b+2*c*x^2-sqrt(b^2-4*a*c))/(sqrt(1+2*c*x^2/(b-sqrt(b^2-4*a*c)))*sqrt(1+2*c*x^2/(b+sqrt(b^2-4*a*c)))) --R --R --R +-----------+ --R | 2 2 --R - \|- 4a c + b + 2c x + b --R (1) ---------------------------------------------------------- --R +--------------------------+ +--------------------------+ --R | +-----------+ | +-----------+ --R | | 2 2 | | 2 2 --R |\|- 4a c + b - 2c x - b |\|- 4a c + b + 2c x + b --R |-------------------------- |-------------------------- --R | +-----------+ | +-----------+ --R | | 2 | | 2 --R \| \|- 4a c + b - b \| \|- 4a c + b + b --R Type: Expression(Integer) --E 202 --S 203 of 346 --r0:=elliptic_e(asin(x*sqrt(2)*sqrt(-c)/sqrt(b+sqrt(b^2-4*a*c))),_ -- (b+sqrt(b^2-4*a*c))/(b-sqrt(b^2-4*a*c)))*(b-sqrt(b^2-4*a*c))*_ -- sqrt(b+sqrt(b^2-4*a*c))/(sqrt(2)*sqrt(-c)) --E 203 --S 204 of 346 --a0:=integrate(t0,x) --E 204 --S 205 of 346 --m0:=a0-r0 --E 205 --S 206 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 206 )clear all --S 207 of 346 t0:=(c+d*x^2)^(5/2)*(e+f*x^2)^(3/2)/(a+b*x^2) --R --R --R (1) --R +--------+ +--------+ --R 2 6 2 4 2 2 2 | 2 | 2 --R (d f x + (2c d f + d e)x + (c f + 2c d e)x + c e)\|d x + c \|f x + e --R -------------------------------------------------------------------------- --R 2 --R b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 207 --S 208 of 346 --r0:=1/5*(b*c-a*d)*f*x*(c+d*x^2)^(3/2)*sqrt(e+f*x^2)/b^2+2/35*(4*d*e-_ -- c*f)*x*(c+d*x^2)^(3/2)*sqrt(e+f*x^2)/b+1/7*f*x*(c+d*x^2)^(5/2)*_ -- sqrt(e+f*x^2)/b+1/3*(b*c-a*d)^2*f*x*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/b^3+_ -- 2/15*(b*c-a*d)*(3*d*e-c*f)*x*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/b^2+1/35*_ -- d*(9*c*e+d*e^2/f-2*c^2*f/d)*x*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)/b+(b*c-_ -- a*d)^3*f*elliptic_e(asin(x*sqrt(-d)/sqrt(c)),c*f/(d*e))*sqrt(c)*_ -- sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2)/(b^4*sqrt(-d)*sqrt(c+d*x^2)*_ -- sqrt((e+f*x^2)/e))+2/35*(d*e+c*f)*(d^2*e^2-6*c*d*e*f+c^2*f^2)*_ -- elliptic_e(asin(x*sqrt(-f)/sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(e)*sqrt(c+d*_ -- x^2)*sqrt((e+f*x^2)/e)/(b*d*(-f)^(3/2)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+f*_ -- x^2))+1/15*(b*c-a*d)*(3*d^2*e^2+7*c*d*e*f-2*c^2*f^2)*elliptic_e(_ -- asin(x*sqrt(-f)/sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(e)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt((e+_ -- 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-- sqrt(c+d*x^2)*sqrt((e+f*x^2)/e)/(c*(b*c-a*d)*(d*e-c*f)*sqrt((c+_ -- d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2))+b*elliptic_pi(b*c/(a*d),asin(x*sqrt(-d)/_ -- sqrt(c)),c*f/(d*e))*sqrt(c)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt((e+f*x^2)/e)/_ -- (a*(b*c-a*d)*sqrt(-d)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt(e+f*x^2)) --E 288 --S 289 of 346 --a0:=integrate(t0,x) --E 289 --S 290 of 346 --m0:=a0-r0 --E 290 --S 291 of 346 --d0:=D(m0,x) --E 291 )clear all --S 292 of 346 t0:=1/((a+b*x^2)*(c+d*x^2)^(5/2)*(e+f*x^2)^(1/2)) --R --R --R (1) --R 1 --R ----------------------------------------------------------------------------- --R +--------+ +--------+ --R 2 6 2 4 2 2 2 | 2 | 2 --R (b d x + (a d + 2b c d)x + (2a c d + b c )x + a c )\|d x + c \|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 292 --S 293 of 346 --r0:=-1/3*d^2*x*sqrt(e+f*x^2)/(c*(b*c-a*d)*(d*e-c*f)*(c+d*x^2)^(3/2))-_ -- 2/3*d^2*(d*e-2*c*f)*x*sqrt(e+f*x^2)/(c^2*(b*c-a*d)*(d*e-c*f)^2*_ -- sqrt(c+d*x^2))-b*d^2*x*sqrt(e+f*x^2)/(c*(b*c-a*d)^2*(d*e-c*f)*_ -- 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----------------------------------------- --R +--------+ --R 4 2 | 2 --R (b f x + (a f + b e)x + a e)\|f x + e --R Type: Expression(Integer) --E 297 --S 298 of 346 --r0:=d*(b*c-a*d)*x*sqrt(c+d*x^2)/(b^2*e*sqrt(e+f*x^2))-d*(b*c-a*d)^2*f*_ -- x*sqrt(c+d*x^2)/(b^3*e*(d*e-c*f)*sqrt(e+f*x^2))+(b*c-a*d)^3*f^2*x*_ -- sqrt(c+d*x^2)/(b^3*e*(b*e-a*f)*(d*e-c*f)*sqrt(e+f*x^2))-d*(d*e-c*f)*_ -- x*sqrt(c+d*x^2)/(b*e*f*sqrt(e+f*x^2))+(-d)^(3/2)*(b*c-a*d)^2*_ -- elliptic_e(asin(x*sqrt(-d)/sqrt(c)),c*f/(d*e))*sqrt(c)*sqrt((c+_ -- d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2)/(b^3*e*(d*e-c*f)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt((e+f*_ -- x^2)/e))+(b*c-a*d)^3*f*elliptic_e(asin(x*sqrt(-d)/sqrt(c)),c*f/_ -- (d*e))*sqrt(c)*sqrt(-d)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+f*x^2)/(b^3*e*(b*e-_ -- a*f)*(d*e-c*f)*sqrt(c+d*x^2)*sqrt((e+f*x^2)/e))-d*(2*d*e-c*f)*_ -- elliptic_e(asin(x*sqrt(-f)/sqrt(e)),d*e/(c*f))*sqrt(c+d*x^2)*_ -- sqrt((e+f*x^2)/e)/(b*(-f)^(3/2)*sqrt(e)*sqrt((c+d*x^2)/c)*sqrt(e+_ -- 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