\documentclass{article} \usepackage{axiom} \setlength{\textwidth}{400pt} \begin{document} \title{\$SPAD/src/input rich4d.input} \author{Albert Rich and Timothy Daly} \maketitle \begin{abstract} \verb|x^m (a+b x^n)^p| There are: \begin{itemize} \item 255 integrals in this file. \item 255 supplied "optimal results". \item 232 matching answers. \item 10 cases where Axiom's result differs from Rubi \item 17 cases where Axiom supplied 2 results. \item 2 cases that Axiom failed to integrate. \item 28 that contain expressions Axiom does not recognize. \end{itemize} \end{abstract} \eject \tableofcontents \eject \begin{chunk}{*} )set break resume )sys rm -f rich4d.output )spool rich4d.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b x + 56a b x --R + --R 6 2 6 7 3 8 --R 28a b x + 8a b x + a --R / --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1 --S 2 of 1309 r0:=8/3*a^7*b*x^3+14/3*a^6*b^2*x^6+56/9*a^5*b^3*x^9+35/6*a^4*b^4*x^12+_ 56/15*a^3*b^5*x^15+14/9*a^2*b^6*x^18+8/21*a*b^7*x^21+_ 1/24*b^8*x^24+a^8*log(x) --R --R --R (2) --R 8 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 --R 2520a log(x) + 105b x + 960a b x + 3920a b x + 9408a b x --R + --R 4 4 12 5 3 9 6 2 6 7 3 --R 14700a b x + 15680a b x + 11760a b x + 6720a b x --R / --R 2520 --R Type: Expression(Integer) --E 2 --S 3 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 8 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 --R 2520a log(x) + 105b x + 960a b x + 3920a b x + 9408a b x --R + --R 4 4 12 5 3 9 6 2 6 7 3 --R 14700a b x + 15680a b x + 11760a b x + 6720a b x --R / --R 2520 --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 3 --S 4 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 4 --S 5 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 5 )clear all --S 6 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x^4 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b 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Union(Expression(Integer),...) --E 53 --S 54 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R 10 --R b --R (4) - ----- --R 2 --R 270a --R Type: Expression(Integer) --E 54 --S 55 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 55 )clear all --S 56 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x^34 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b x + 56a b x --R + --R 6 2 6 7 3 8 --R 28a b x + 8a b x + a --R / --R 34 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 56 --S 57 of 1309 r0:=-1/33*(a+b*x^3)^9/(a*x^33)+1/165*b*(a+b*x^3)^9/(a^2*x^30)-_ 1/1485*b^2*(a+b*x^3)^9/(a^3*x^27) --R --R --R (2) --R 1 11 33 1 3 8 24 2 4 7 21 28 5 6 18 28 6 5 15 --R - ---- b x - - a b x - - a b x - -- a b x - -- a b x --R 1485 9 3 15 9 --R + --R 10 7 4 12 7 8 3 9 28 9 2 6 4 10 3 1 11 --R - -- a b x - - a b x - -- a b x - -- a b x - -- a --R 3 3 27 15 33 --R / --R 3 33 --R a x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 57 --S 58 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R 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of 1309 r0:=1/2*a^8*x^2+8/5*a^7*b*x^5+7/2*a^6*b^2*x^8+56/11*a^5*b^3*x^11+_ 5*a^4*b^4*x^14+56/17*a^3*b^5*x^17+7/5*a^2*b^6*x^20+_ 8/23*a*b^7*x^23+1/26*b^8*x^26 --R --R --R (2) --R 1 8 26 8 7 23 7 2 6 20 56 3 5 17 4 4 14 56 5 3 11 --R -- b x + -- a b x + - a b x + -- a b x + 5a b x + -- a b x --R 26 23 5 17 11 --R + --R 7 6 2 8 8 7 5 1 8 2 --R - a b x + - a b x + - a x --R 2 5 2 --R Type: Polynomial(Fraction(Integer)) --E 92 --S 93 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 1 8 26 8 7 23 7 2 6 20 56 3 5 17 4 4 14 56 5 3 11 --R -- b x + -- a b x + - a b x + -- a b x + 5a b x + -- a b x --R 26 23 5 17 11 --R + --R 7 6 2 8 8 7 5 1 8 2 --R - a b x + - a b x + - a x --R 2 5 2 --R Type: Polynomial(Fraction(Integer)) --E 93 --S 94 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Polynomial(Fraction(Integer)) --E 94 --S 95 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Polynomial(Fraction(Integer)) --E 95 )clear all --S 96 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 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Union(Expression(Integer),...) --E 103 --S 104 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 104 --S 105 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 105 )clear all --S 106 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x^3 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b x + 56a b x --R + --R 6 2 6 7 3 8 --R 28a b x + 8a b x + a --R / --R 3 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 106 --S 107 of 1309 r0:=-1/2*a^8/x^2+8*a^7*b*x+7*a^6*b^2*x^4+8*a^5*b^3*x^7+7*a^4*b^4*x^10+_ 56/13*a^3*b^5*x^13+7/4*a^2*b^6*x^16+8/19*a*b^7*x^19+1/22*b^8*x^22 --R --R --R (2) --R 1 8 24 8 7 21 7 2 6 18 56 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R -- b x + -- a b x + - a b x + -- a b x + 7a b x + 8a b x --R 22 19 4 13 --R + --R 6 2 6 7 3 1 8 --R 7a b x + 8a b x - - a --R 2 --R / --R 2 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 107 --S 108 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 --R 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x - - a --R 4 --R / --R 4 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 112 --S 113 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 --R 187b x + 1760a b x + 7480a b x + 19040a b x + 32725a b x --R + --R 5 3 9 6 2 6 7 3 8 --R 41888a b x + 52360a b x - 29920a b x - 935a --R / --R 4 --R 3740x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 113 --S 114 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 114 --S 115 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 115 )clear all --S 116 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x^6 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b x + 56a b x --R + --R 6 2 6 7 3 8 --R 28a b x + 8a b x + a --R / --R 6 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 116 --S 117 of 1309 r0:=-1/5*a^8/x^5-4*a^7*b/x^2+28*a^6*b^2*x+14*a^5*b^3*x^4+10*a^4*b^4*x^7+_ 28/5*a^3*b^5*x^10+28/13*a^2*b^6*x^13+1/2*a*b^7*x^16+1/19*b^8*x^19 --R --R --R (2) --R 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of 1309 r0:=-1/7*a^8/x^7-2*a^7*b/x^4-28*a^6*b^2/x+28*a^5*b^3*x^2+_ 14*a^4*b^4*x^5+7*a^3*b^5*x^8+28/11*a^2*b^6*x^11+4/7*a*b^7*x^14+_ 1/17*b^8*x^17 --R --R --R (2) --R 1 8 24 4 7 21 28 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R -- b x + - a b x + -- a b x + 7a b x + 14a b x + 28a b x --R 17 7 11 --R + --R 6 2 6 7 3 1 8 --R - 28a b x - 2a b x - - a --R 7 --R / --R 7 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 122 --S 123 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 --R 77b x + 748a b x + 3332a b x + 9163a b x + 18326a b x --R + --R 5 3 9 6 2 6 7 3 8 --R 36652a b x - 36652a b x - 2618a b x - 187a --R / --R 7 --R 1309x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 123 --S 124 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 124 --S 125 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 125 )clear all --S 126 of 1309 t0:=(a+b*x^3)^8/x^9 --R --R --R (1) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 5 3 9 --R b x + 8a b x + 28a b x + 56a b x + 70a b x + 56a b x --R + --R 6 2 6 7 3 8 --R 28a b x + 8a b x + a --R / --R 9 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 126 --S 127 of 1309 r0:=-1/8*a^8/x^8-8/5*a^7*b/x^5-14*a^6*b^2/x^2+56*a^5*b^3*x+_ 35/2*a^4*b^4*x^4+8*a^3*b^5*x^7+14/5*a^2*b^6*x^10+_ 8/13*a*b^7*x^13+1/16*b^8*x^16 --R --R --R (2) --R 1 8 24 8 7 21 14 2 6 18 3 5 15 35 4 4 12 5 3 9 --R -- b x + -- a b x + -- a b x + 8a b x + -- a b x + 56a b x --R 16 13 5 2 --R + --R 6 2 6 8 7 3 1 8 --R - 14a b x - - a b x - - a --R 5 8 --R / --R 8 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 127 --S 128 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 8 24 7 21 2 6 18 3 5 15 4 4 12 --R 65b x + 640a b x + 2912a b x + 8320a b x + 18200a b x --R + --R 5 3 9 6 2 6 7 3 8 --R 58240a b x - 14560a b x - 1664a b x - 130a --R / --R 8 --R 1040x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 128 --S 129 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 129 --S 130 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 130 )clear all --S 131 of 1309 t0:=x^5/(a+b*x^3) --R --R --R 5 --R x --R (1) -------- --R 3 --R b x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 131 --S 132 of 1309 r0:=1/3*x^3/b-1/3*a*log(a+b*x^3)/b^2 --R --R --R 3 3 --R - a log(b x + a) + b x --R (2) ------------------------ --R 2 --R 3b --R Type: Expression(Integer) --E 132 --S 133 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R 3 3 --R - a log(b x + a) + b x --R (3) ------------------------ --R 2 --R 3b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 133 --S 134 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 134 --S 135 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 135 )clear all --S 136 of 1309 t0:=x^4/(a+b*x^3) --R --R --R 4 --R x --R (1) -------- --R 3 --R b x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 136 --S 137 of 1309 r0:=1/2*x^2/b+1/3*a^(2/3)*log(a^(1/3)+b^(1/3)*x)/b^(5/3)-_ 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Union(Expression(Integer),...) --E 213 --S 214 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R +-+3+-+ 2 3+-+2 3+-+3+-+ 3+-+2 --R - \|3 \|b log(x \|b + x\|a \|b + \|a ) --R + --R +---+ +---+2 +---+ --R +-+ | b 3+-+ | b | b 2 --R - \|3 3|- - \|a log(a x 3|- - - a 3|- - + b x ) --R \| a \| a \| a --R + --R +---+ +---+2 --R +-+ | b 3+-+ | b +-+3+-+ 3+-+ 3+-+ --R 2\|3 3|- - \|a log(- a 3|- - + b x + 2\|3 \|b log(- x\|b + \|a ) --R \| a \| a --R + --R +---+2 --R +-+ | b +-+ --R 3+-+ 3+-+ +---+ a\|3 3|- - + 2b x\|3 --R 3+-+ 2x\|b + \|a | b 3+-+ \| a --R 6\|b atan(-------------) + 6 3|- - \|a atan(-----------------------) --R +-+3+-+ \| a +---+2 --R \|3 \|a | b --R 3a 3|- - --R \| a --R / --R +-+3+-+ --R 6a\|3 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 214 --S 215 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 215 )clear all --S 216 of 1309 t0:=1/(x^3*(a-b*x^3)) --R --R --R 1 --R (1) - ----------- --R 6 3 --R b x - a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 216 --S 217 of 1309 r0:=(-1/2)/(a*x^2)-1/3*b^(2/3)*log(a^(1/3)-b^(1/3)*x)/a^(5/3)+_ 1/6*b^(2/3)*log(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)*x+b^(2/3)*x^2)/a^(5/3)+_ b^(2/3)*atan((a^(1/3)+2*b^(1/3)*x)/(a^(1/3)*sqrt(3)))/(a^(5/3)*sqrt(3)) --R --R --R (2) --R 2 +-+3+-+2 2 3+-+2 3+-+3+-+ 3+-+2 --R x \|3 \|b log(x \|b + x\|a \|b + \|a ) --R + --R 3+-+ 3+-+ --R 2 +-+3+-+2 3+-+ 3+-+ 2 3+-+2 2x\|b + \|a --R - 2x \|3 \|b log(- x\|b + \|a ) + 6x \|b atan(-------------) --R +-+3+-+ --R \|3 \|a --R + --R +-+3+-+2 --R - 3\|3 \|a --R / --R 2 +-+3+-+2 --R 6a x \|3 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 217 --S 218 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +----+ +----+2 +----+ --R | 2 | 2 | 2 --R 2 +-+ | b 2 | b | b 2 2 --R - x \|3 |- -- log(a |- -- - a b x |- -- + b x ) --R 3| 2 3| 2 3| 2 --R \| a \| a \| a --R + --R +----+ +----+ --R | 2 | 2 --R 2 +-+ | b | b --R 2x \|3 |- -- log(a |- -- + b x) --R 3| 2 3| 2 --R \| a \| a --R + --R +----+ --R | 2 --R +-+ | b +-+ --R +----+ a\|3 |- -- - 2b x\|3 --R | 2 3| 2 --R 2 | b \| a +-+ --R - 6x |- -- atan(----------------------- - 3\|3 --R 3| 2 +----+ --R \| a | 2 --R | b --R 3a |- -- --R 3| 2 --R \| a --R / --R 2 +-+ --R 6a x \|3 --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 218 --S 219 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R +-+3+-+2 2 3+-+2 3+-+3+-+ 3+-+2 --R - \|3 \|b log(x \|b + x\|a \|b + \|a ) --R + --R +----+ +----+2 +----+ --R | 2 | 2 | 2 --R +-+ | b 3+-+2 2 | b | b 2 2 --R - \|3 |- -- \|a log(a |- -- - a b x |- -- + b x ) --R 3| 2 3| 2 3| 2 --R \| a \| a \| a --R + --R +----+ +----+ --R | 2 | 2 --R +-+ | b 3+-+2 | b +-+3+-+2 3+-+ 3+-+ --R 2\|3 |- -- \|a log(a |- -- + b x + 2\|3 \|b log(- x\|b + \|a ) --R 3| 2 3| 2 --R \| a \| a --R + --R +----+ --R | 2 --R +-+ | b +-+ --R +----+ a\|3 |- -- - 2b x\|3 --R 3+-+ 3+-+ | 2 3| 2 --R 3+-+2 2x\|b + \|a | b 3+-+2 \| a --R - 6\|b atan(-------------) - 6 |- -- \|a atan(-----------------------) --R +-+3+-+ 3| 2 +----+ --R \|3 \|a \| a | 2 --R | b --R 3a |- -- --R 3| 2 --R \| a --R / --R +-+3+-+2 --R 6a\|3 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 219 --S 220 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 220 )clear all --S 221 of 1309 t0:=1/(x^4*(a-b*x^3)) --R --R --R 1 --R (1) - ----------- --R 7 4 --R b x - a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 221 --S 222 of 1309 r0:=(-1/3)/(a*x^3)+b*log(x)/a^2-1/3*b*log(a-b*x^3)/a^2 --R --R --R 3 3 3 --R 3b x log(x) - b x log(- b x + a) - a --R (2) ------------------------------------- --R 2 3 --R 3a x --R Type: Expression(Integer) --E 222 --S 223 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R 3 3 3 --R - b x log(b x - a) + 3b x log(x) - a --R (3) ------------------------------------- --R 2 3 --R 3a x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 223 --S 224 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R 3 3 --R - b log(b x - a) + b log(- b x + a) --R (4) ------------------------------------- --R 2 --R 3a --R Type: Expression(Integer) --E 224 --S 225 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 225 )clear all --S 226 of 1309 t0:=1/(1+a+b*x^3) --R --R --R 1 --R (1) ------------ --R 3 --R b x + a + 1 --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 226 --S 227 of 1309 r0:=1/3*log((1+a)^(1/3)+b^(1/3)*x)/((1+a)^(2/3)*b^(1/3))-_ 1/6*log((1+a)^(2/3)-(1+a)^(1/3)*b^(1/3)*x+_ b^(2/3)*x^2)/((1+a)^(2/3)*b^(1/3))-atan(((1+a)^(1/3)-_ 2*b^(1/3)*x)/((1+a)^(1/3)*sqrt(3)))/((1+a)^(2/3)*b^(1/3)*sqrt(3)) --R --R --R (2) --R +-+ 2 3+-+2 3+-----+3+-+ 3+-----+2 --R - \|3 log(x \|b - x\|a + 1 \|b + \|a + 1 ) --R + --R 3+-+ 3+-----+ --R +-+ 3+-+ 3+-----+ 2x\|b - \|a + 1 --R 2\|3 log(x\|b + \|a + 1 ) + 6atan(-----------------) --R +-+3+-----+ --R \|3 \|a + 1 --R / --R +-+3+-----+2 3+-+ --R 6\|3 \|a + 1 \|b --R Type: Expression(Integer) --E 227 --S 228 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R - --R +-+ --R \|3 --R * --R +--------------+2 +--------------+ --R 2 3| 2 3| 2 2 --R log(x \|(a + 2a + 1)b + (- a - 1)x\|(a + 2a + 1)b + a + 2a + 1) --R + --R +--------------+ --R +-+ 3| 2 --R 2\|3 log(x\|(a + 2a + 1)b + a + 1) --R + --R 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--R +-+3+-----+2 3+-+ --R 6\|3 \|a + 1 \|b --R Type: Expression(Integer) --E 232 --S 233 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R - --R +-+ --R \|3 --R * --R log --R +----------------+2 +----------------+ --R 2 3| 2 3| 2 2 --R x \|(- a - 2a - 1)b + (- a - 1)x\|(- a - 2a - 1)b + a --R + --R 2a + 1 --R + --R +----------------+ --R +-+ 3| 2 --R 2\|3 log(x\|(- a - 2a - 1)b + a + 1) --R + --R +----------------+ --R +-+3| 2 +-+ --R 2x\|3 \|(- a - 2a - 1)b + (- a - 1)\|3 --R 6atan(-----------------------------------------) --R 3a + 3 --R / --R +----------------+ --R +-+3| 2 --R 6\|3 \|(- a - 2a - 1)b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 233 --S 234 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R +----------------+ --R +-+3| 2 2 3+-+2 3+-----+3+-+ 3+-----+2 --R - \|3 \|(- a - 2a - 1)b log(x \|b + x\|a + 1 \|b + \|a + 1 ) --R + --R - --R +-+3+-----+2 3+-+ --R \|3 \|a + 1 \|b --R * --R log --R +----------------+2 +----------------+ --R 2 3| 2 3| 2 2 --R x \|(- a - 2a - 1)b + (- a - 1)x\|(- 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--R +----------------+2 +----------------+ --R 2 3| 2 3| 2 2 --R x \|(- a + 2a - 1)b + (- a + 1)x\|(- a + 2a - 1)b + a --R + --R - 2a + 1 --R + --R +----------------+ --R +-+3+-------+2 3+-+ 3| 2 --R 2\|3 \|- a + 1 \|b log(x\|(- a + 2a - 1)b + a - 1) --R + --R +----------------+ 3+-+ 3+-------+ --R 3| 2 2x\|b - \|- a + 1 --R 6\|(- a + 2a - 1)b atan(-------------------) --R +-+3+-------+ --R \|3 \|- a + 1 --R + --R +----------------+ --R +-+3| 2 +-+ --R 3+-------+2 3+-+ 2x\|3 \|(- a + 2a - 1)b + (- a + 1)\|3 --R 6\|- a + 1 \|b atan(-----------------------------------------) --R 3a - 3 --R / --R +----------------+ --R +-+3| 2 3+-------+2 3+-+ --R 6\|3 \|(- a + 2a - 1)b \|- a + 1 \|b --R Type: Expression(Integer) --E 244 --S 245 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 245 )clear all --S 246 of 1309 t0:=x^5/(a+b*x^3)^2 --R --R --R 5 --R x --R (1) ------------------- --R 2 6 3 2 --R b x + 2a b x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 246 --S 247 of 1309 r0:=1/3*a/(b^2*(a+b*x^3))+1/3*log(a+b*x^3)/b^2 --R --R --R 3 3 --R (b x + a)log(b x + a) + a --R (2) --------------------------- --R 3 3 2 --R 3b x + 3a b --R Type: Expression(Integer) --E 247 --S 248 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R 3 3 --R (b x + a)log(b x + a) + a --R (3) --------------------------- --R 3 3 2 --R 3b x + 3a b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 248 --S 249 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 249 --S 250 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 250 )clear all --S 251 of 1309 t0:=x^4/(a+b*x^3)^2 --R --R --R 4 --R x --R (1) ------------------- --R 2 6 3 2 --R b x + 2a b x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 251 --S 252 of 1309 r0:=-1/3*x^2/(b*(a+b*x^3))-2/9*log(a^(1/3)+b^(1/3)*x)/(a^(1/3)*b^(5/3))+_ 1/9*log(a^(2/3)-a^(1/3)*b^(1/3)*x+b^(2/3)*x^2)/(a^(1/3)*b^(5/3))-_ 2/3*atan((a^(1/3)-2*b^(1/3)*x)/(a^(1/3)*sqrt(3)))/_ (a^(1/3)*b^(5/3)*sqrt(3)) --R --R --R (2) --R 3 +-+ 2 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(- 12b x - 9a)\|3 \|a --R +-+3+-+ --R \|3 \|a --R / --R 2 4 3 +-+3+-+ --R (9a b x + 9a x)\|3 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 282 --S 283 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +-+ +-+2 --R 4 +-+ |b |b --R (4b x + 4a x)\|3 3|- log(a 3|- + b x) --R \|a \|a --R + --R +-+ +-+2 +-+ --R 4 +-+ |b |b |b 2 --R (- 2b x - 2a x)\|3 3|- log(- a x 3|- + a 3|- + b x ) --R \|a \|a \|a --R + --R +-+2 --R +-+ |b +-+ --R +-+ a\|3 3|- - 2b x\|3 --R 4 |b \|a 3 +-+ --R (12b x + 12a x) 3|- atan(--------------------- + (- 12b x - 9a)\|3 --R \|a +-+2 --R |b --R 3a 3|- --R \|a --R / --R 2 4 3 +-+ --R (9a b x + 9a x)\|3 --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 283 --S 284 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R +-+3+-+ 2 3+-+2 3+-+3+-+ 3+-+2 +-+3+-+ 3+-+ 3+-+ --R 2\|3 \|b log(x \|b - x\|a \|b + \|a ) - 4\|3 \|b log(x\|b + \|a ) --R + --R +-+ +-+2 --R +-+3+-+ |b |b --R 4\|3 \|a 3|- log(a 3|- + b x) --R \|a \|a --R + --R +-+ +-+2 +-+ --R +-+3+-+ |b |b |b 2 --R - 2\|3 \|a 3|- log(- a x 3|- + a 3|- + b x ) --R \|a \|a \|a --R + --R +-+2 --R +-+ |b +-+ --R 3+-+ 3+-+ +-+ a\|3 3|- - 2b x\|3 --R 3+-+ 2x\|b - \|a 3+-+ |b \|a --R 12\|b atan(-------------) + 12\|a 3|- atan(---------------------) --R +-+3+-+ \|a +-+2 --R \|3 \|a |b --R 3a 3|- --R \|a --R / --R 2 +-+3+-+ --R 9a \|3 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 284 --S 285 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 285 )clear all --S 286 of 1309 t0:=1/(x^3*(a+b*x^3)^2) --R --R --R 1 --R (1) --------------------- --R 2 9 6 2 3 --R b x + 2a b x + a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 286 --S 287 of 1309 r0:=(-5/6)/(a^2*x^2)+1/3/(a*x^2*(a+b*x^3))-5/9*b^(2/3)*log(a^(1/3)+_ b^(1/3)*x)/a^(8/3)+5/18*b^(2/3)*log(a^(2/3)-a^(1/3)*b^(1/3)*x+_ b^(2/3)*x^2)/a^(8/3)+5/3*b^(2/3)*atan((a^(1/3)-2*b^(1/3)*x)/_ (a^(1/3)*sqrt(3)))/(a^(8/3)*sqrt(3)) --R --R --R (2) --R 5 2 +-+3+-+2 2 3+-+2 3+-+3+-+ 3+-+2 --R (5b x + 5a x )\|3 \|b log(x \|b - x\|a \|b + \|a ) --R + --R 5 2 +-+3+-+2 3+-+ 3+-+ --R (- 10b x - 10a x 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--R 3 --R Type: Expression(Integer) --E 362 --S 363 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +--------+ --R +-+ | 3 3 +--------+ --R +-+ - 2\|a \|b x + a + b x + 2a | 3 --R \|a log(------------------------------) + 2\|b x + a --R 3 --R x --R [------------------------------------------------------, --R 3 --R +--------+ --R | 3 +--------+ --R +---+ \|b x + a | 3 --R - 2\|- a atan(-----------) + 2\|b x + a --R +---+ --R \|- a --R -----------------------------------------] --R 3 --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 363 --S 364 of 1309 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R +--------+ +--------+ --R +-+ | 3 3 | 3 --R +-+ - 2\|a \|b x + a + b x + 2a +-+ \|b x + a --R \|a log(------------------------------) + 2\|a atanh(-----------) --R 3 +-+ --R x \|a --R (4) ----------------------------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression(Integer) --E 364 --S 365 of 1309 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 365 --S 366 of 1309 m0b:=a0.2-r0 --R 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- b\|a atan(-----------------) --R +-+ a --R \|a --R (6) -------------------------------------------------------- --R +---+ +-+ --R 3\|- a \|a --R Type: Expression(Integer) --E 373 --S 374 of 1309 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 374 )clear all --S 375 of 1309 t0:=sqrt(a+b*x^3)/x^7 --R --R --R +--------+ --R | 3 --R \|b x + a --R (1) ----------- --R 7 --R x --R Type: Expression(Integer) --E 375 --S 376 of 1309 r0:=1/12*b^2*atanh(sqrt(a+b*x^3)/sqrt(a))/a^(3/2)-1/6*sqrt(a+b*x^3)/x^6-_ 1/12*b*sqrt(a+b*x^3)/(a*x^3) --R --R --R +--------+ --R | 3 +--------+ --R 2 6 \|b x + a 3 +-+ | 3 --R b x atanh(-----------) + (- b x - 2a)\|a \|b x + a --R +-+ --R \|a --R (2) ----------------------------------------------------- --R 6 +-+ --R 12a x \|a --R Type: Expression(Integer) --E 376 --S 377 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +--------+ --R | 3 3 +-+ +--------+ --R 2 6 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a 3 +-+ | 3 --R b x log(-------------------------------) + (- 2b x - 4a)\|a \|b x + a --R 3 --R x --R [------------------------------------------------------------------------, --R 6 +-+ --R 24a x \|a --R +--------+ --R +---+ | 3 +--------+ --R 2 6 \|- a \|b x + a 3 +---+ | 3 --R b x atan(-----------------) + (- b x - 2a)\|- a \|b x + a --R a --R ------------------------------------------------------------] --R 6 +---+ --R 12a x \|- a --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 377 --S 378 of 1309 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R +--------+ +--------+ --R | 3 3 +-+ | 3 --R 2 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a 2 \|b x + a --R b log(-------------------------------) - 2b atanh(-----------) --R 3 +-+ --R x \|a --R (4) -------------------------------------------------------------- --R +-+ --R 24a\|a --R Type: Expression(Integer) --E 378 --S 379 of 1309 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 379 --S 380 of 1309 m0b:=a0.2-r0 --R --R --R +--------+ +--------+ --R | 3 +---+ | 3 --R 2 +---+ \|b x + a 2 +-+ \|- a \|b x + a --R - b \|- a atanh(-----------) + b \|a atan(-----------------) --R +-+ a --R \|a --R (6) ------------------------------------------------------------ --R +---+ +-+ --R 12a\|- a \|a --R Type: Expression(Integer) --E 380 --S 381 of 1309 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 381 )clear all --S 382 of 1309 t0:=x^3*sqrt(8+27*x^3) --R --R --R +--------+ --R 3 | 3 --R (1) x \|27x + 8 --R Type: Expression(Integer) --E 382 --S 383 of 1309 --r0:=16/495*x*sqrt(8+27*x^3)+2/11*x^4*sqrt(8+27*x^3)-256/1485*(-1)^(1/4)*_ -- elliptic_f(%i*asinh((1/2+1/2*%i)*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/3^(1/4)),_ -- -2*sqrt(3)/(3*%i-sqrt(3)))*sqrt(%i*(1-3*x-%i*sqrt(3)))*_ -- sqrt((2+3*x)/(3+%i*sqrt(3)))*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/sqrt(8+27*x^3) --E 383 --S 384 of 1309 --a0:=integrate(t0,x) --E 384 --S 385 of 1309 --m0:=a0-r0 --E 385 --S 386 of 1309 --d0:=D(m0,x) --E 386 )clear all --S 387 of 1309 t0:=sqrt(8+27*x^3) --R --R --R +--------+ --R | 3 --R (1) \|27x + 8 --R Type: Expression(Integer) --E 387 --S 388 of 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+--------+ --R 4 | 3 --R (1) x \|27x + 8 --R Type: Expression(Integer) --E 397 --S 398 of 1309 --r0:=16/819*x^2*sqrt(8+27*x^3)+2/13*x^5*sqrt(8+27*x^3)-_ -- 512/7371*(-1)^(1/4)*(2+3*x)*elliptic_e(%i*asinh((1/2+1/2*%i)*_ -- sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/3^(1/4)),_ -- -2*sqrt(3)/(3*%i-sqrt(3)))*sqrt(%i*(1-3*x-%i*sqrt(3)))*_ -- sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/(sqrt(8+27*x^3)*sqrt((2+3*x)/_ -- (3+%i*sqrt(3))))+1024/7371*(-1)^(1/4)*_ -- elliptic_f(%i*asinh((1/2+1/2*%i)*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/3^(1/4)),_ -- -2*sqrt(3)/(3*%i-sqrt(3)))*sqrt(%i*(1-3*x-%i*sqrt(3)))*_ -- sqrt((2+3*x)/(3+%i*sqrt(3)))*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/sqrt(8+27*x^3) --E 398 --S 399 of 1309 --a0:=integrate(t0,x) --E 399 --S 400 of 1309 --m0:=a0-r0 --E 400 --S 401 of 1309 --d0:=D(m0,x) --E 401 )clear all --S 402 of 1309 t0:=x*sqrt(8+27*x^3) --R --R --R +--------+ --R | 3 --R (1) x\|27x + 8 --R Type: Expression(Integer) --E 402 --S 403 of 1309 --r0:=2/7*x^2*sqrt(8+27*x^3)+16/21*(-1)^(1/4)*(2+3*x)*_ -- 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(3+%i*sqrt(3))))-18*(-1)^(1/4)*_ -- elliptic_f(%i*asinh((1/2+1/2*%i)*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/3^(1/4)),_ -- -2*sqrt(3)/(3*%i-sqrt(3)))*sqrt(%i*(1-3*x-%i*sqrt(3)))*_ -- sqrt((2+3*x)/(3+%i*sqrt(3)))*sqrt(1-3*x+%i*sqrt(3))/sqrt(8+27*x^3) --E 408 --S 409 of 1309 --a0:=integrate(t0,x) --E 409 --S 410 of 1309 --m0:=a0-r0 --E 410 --S 411 of 1309 --d0:=D(m0,x) --E 411 )clear all --S 412 of 1309 t0:=x^8/sqrt(a+b*x^3) --R --R --R 8 --R x --R (1) ----------- --R +--------+ --R | 3 --R \|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 412 --S 413 of 1309 r0:=16/45*a^2*sqrt(a+b*x^3)/b^3-8/45*a*x^3*sqrt(a+b*x^3)/b^2+_ 2/15*x^6*sqrt(a+b*x^3)/b --R --R --R +--------+ --R 2 6 3 2 | 3 --R (6b x - 8a b x + 16a )\|b x + a --R (2) ----------------------------------- --R 3 --R 45b --R Type: Expression(Integer) --E 413 --S 414 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R +--------+ --R 2 6 3 2 | 3 --R (6b x - 8a b x + 16a )\|b x + a --R (3) ----------------------------------- --R 3 --R 45b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 414 --S 415 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 415 --S 416 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 416 )clear all --S 417 of 1309 t0:=x^5/sqrt(a+b*x^3) --R --R --R 5 --R x --R (1) ----------- --R +--------+ --R | 3 --R \|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 417 --S 418 of 1309 r0:=-4/9*a*sqrt(a+b*x^3)/b^2+2/9*x^3*sqrt(a+b*x^3)/b --R --R --R +--------+ --R 3 | 3 --R (2b x - 4a)\|b x + a --R (2) ----------------------- --R 2 --R 9b --R Type: Expression(Integer) --E 418 --S 419 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R +--------+ --R 3 | 3 --R (2b x - 4a)\|b x + a --R (3) ----------------------- --R 2 --R 9b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 419 --S 420 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 420 --S 421 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 421 )clear all --S 422 of 1309 t0:=x^2/sqrt(a+b*x^3) --R --R --R 2 --R x --R (1) ----------- --R +--------+ --R | 3 --R \|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 422 --S 423 of 1309 r0:=2/3*sqrt(a+b*x^3)/b --R --R --R +--------+ --R | 3 --R 2\|b x + a --R (2) ------------ --R 3b --R Type: Expression(Integer) --E 423 --S 424 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R +--------+ --R | 3 --R 2\|b x + a --R (3) ------------ --R 3b --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 424 --S 425 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 425 --S 426 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 426 )clear all --S 427 of 1309 t0:=1/(x*sqrt(a+b*x^3)) --R --R --R 1 --R (1) ------------ --R +--------+ --R | 3 --R x\|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 427 --S 428 of 1309 r0:=-2/3*atanh(sqrt(a+b*x^3)/sqrt(a))/sqrt(a) --R --R --R +--------+ --R | 3 --R \|b x + a --R 2atanh(-----------) --R +-+ --R \|a --R (2) - ------------------- --R +-+ --R 3\|a --R Type: Expression(Integer) --E 428 --S 429 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R +--------+ --R | 3 3 +-+ +--------+ --R - 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a +---+ | 3 --R log(---------------------------------) \|- a \|b x + a --R 3 2atan(-----------------) --R x a --R (3) [--------------------------------------,- ------------------------] --R +-+ +---+ --R 3\|a 3\|- a --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 429 --S 430 of 1309 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R +--------+ +--------+ --R | 3 3 +-+ | 3 --R - 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a \|b x + a --R log(---------------------------------) + 2atanh(-----------) --R 3 +-+ --R x \|a --R (4) ------------------------------------------------------------ --R +-+ --R 3\|a --R Type: Expression(Integer) --E 430 --S 431 of 1309 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 431 --S 432 of 1309 m0b:=a0.2-r0 --R --R --R +--------+ +--------+ --R | 3 +---+ | 3 --R +---+ \|b x + a +-+ \|- a \|b x + a --R 2\|- a atanh(-----------) - 2\|a atan(-----------------) --R +-+ a --R \|a --R (6) -------------------------------------------------------- --R +---+ +-+ --R 3\|- a \|a --R Type: Expression(Integer) --E 432 --S 433 of 1309 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 433 )clear all --S 434 of 1309 t0:=1/(x^4*sqrt(a+b*x^3)) --R --R --R 1 --R (1) ------------- --R +--------+ --R 4 | 3 --R x \|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 434 --S 435 of 1309 r0:=1/3*b*atanh(sqrt(a+b*x^3)/sqrt(a))/a^(3/2)-1/3*sqrt(a+b*x^3)/(a*x^3) --R --R --R +--------+ --R | 3 +--------+ --R 3 \|b x + a +-+ | 3 --R b x atanh(-----------) - \|a \|b x + a --R +-+ --R \|a --R (2) ---------------------------------------- --R 3 +-+ --R 3a x \|a --R Type: Expression(Integer) --E 435 --S 436 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +--------+ --R | 3 3 +-+ +--------+ --R 3 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a +-+ | 3 --R b x log(-------------------------------) - 2\|a \|b x + a --R 3 --R x --R [-----------------------------------------------------------, --R 3 +-+ --R 6a x \|a 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Expression(Integer) --E 439 --S 440 of 1309 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 440 )clear all --S 441 of 1309 t0:=1/(x^7*sqrt(a+b*x^3)) --R --R --R 1 --R (1) ------------- --R +--------+ --R 7 | 3 --R x \|b x + a --R Type: Expression(Integer) --E 441 --S 442 of 1309 r0:=-1/4*b^2*atanh(sqrt(a+b*x^3)/sqrt(a))/a^(5/2)-_ 1/6*sqrt(a+b*x^3)/(a*x^6)+1/4*b*sqrt(a+b*x^3)/(a^2*x^3) --R --R --R +--------+ --R | 3 +--------+ --R 2 6 \|b x + a 3 +-+ | 3 --R - 3b x atanh(-----------) + (3b x - 2a)\|a \|b x + a --R +-+ --R \|a --R (2) ------------------------------------------------------- --R 2 6 +-+ --R 12a x \|a --R Type: Expression(Integer) --E 442 --S 443 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +--------+ --R | 3 3 +-+ +--------+ --R 2 6 - 2a\|b x + a + (b x + 2a)\|a 3 +-+ | 3 --R 3b x log(---------------------------------) + (6b x - 4a)\|a \|b x + a --R 3 --R x --R [-------------------------------------------------------------------------, --R 2 6 +-+ --R 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--R 7b x + 33a b x + 77a b x - 77a --R (3) ----------------------------------- --R 77x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 980 --S 981 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 981 --S 982 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 982 )clear all --S 983 of 1309 t0:=(a+b*x^4)^3/x^3 --R --R --R 3 12 2 8 2 4 3 --R b x + 3a b x + 3a b x + a --R (1) ------------------------------ --R 3 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 983 --S 984 of 1309 r0:=-1/2*a^3/x^2+3/2*a^2*b*x^2+1/2*a*b^2*x^6+1/10*b^3*x^10 --R --R --R 1 3 12 1 2 8 3 2 4 1 3 --R -- b x + - a b x + - a b x - - a --R 10 2 2 2 --R (2) ------------------------------------- --R 2 --R x --R Type: Fraction(Polynomial(Fraction(Integer))) --E 984 --S 985 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R 3 12 2 8 2 4 3 --R b x + 5a b x + 15a b x - 5a --R (3) -------------------------------- --R 2 --R 10x --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 985 --S 986 of 1309 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+-+ +-+ 4+-+ x\|2 \|c + \|a --R \|a log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) - 2\|a atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 4+-+ x\|2 \|c - \|a +-+4+-+ --R - 2\|a atan(----------------) + 4x\|2 \|c --R 4+-+ --R \|a --R / --R +-+4+-+ --R 4c\|2 \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1006 --S 1007 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +-------+ +-------+ +-------+ +-------+ --R | a | a | a | a --R - c |- ----- log(4c |- ----- + x + c |- ----- log(- 4c |- ----- + x) --R 4| 5 4| 5 4| 5 4| 5 --R \| 256c \| 256c \| 256c \| 256c --R + --R +-------+ --R | a --R 4c |- ----- --R +-------+ 4| 5 --R | a \| 256c --R 2c |- ----- atan(------------ + x --R 4| 5 x --R \| 256c --R / --R c --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 1007 --S 1008 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R 4+-+ +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R \|a log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-------+ +-------+ --R +-+ | a 4+-+ | a --R - 4c\|2 |- ----- \|c log(4c |- ----- + x) --R 4| 5 4| 5 --R \| 256c \| 256c --R + --R +-------+ +-------+ --R +-+ | a 4+-+ | a --R 4c\|2 |- ----- \|c log(- 4c |- ----- + x) --R 4| 5 4| 5 --R \| 256c \| 256c --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 4+-+ +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ 4+-+ x\|2 \|c + \|a --R - \|a log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) + 2\|a atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +-------+ --R | a --R 4c |- ----- --R +-+4+-+ 4+-+ +-------+ 4| 5 --R 4+-+ x\|2 \|c - \|a +-+ | a 4+-+ \| 256c --R 2\|a atan(----------------) + 8c\|2 |- ----- \|c atan(------------) --R 4+-+ 4| 5 x --R \|a \| 256c --R / --R +-+4+-+ --R 4c\|2 \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1008 --S 1009 of 1309 d0:=D(normalize(m0),x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1009 )clear all --S 1010 of 1309 t0:=x^3/(a+c*x^4) --R --R --R 3 --R x --R (1) -------- --R 4 --R c x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1010 --S 1011 of 1309 r0:=1/4*log(a+c*x^4)/c --R --R --R 4 --R log(c x + a) --R (2) ------------- --R 4c --R Type: Expression(Integer) --E 1011 --S 1012 of 1309 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all --S 1091 of 1309 t0:=x/(a+c*x^4)^2 --R --R --R x --R (1) ------------------- --R 2 8 4 2 --R c x + 2a c x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1091 --S 1092 of 1309 r0:=1/4*x^2/(a*(a+c*x^4))+1/4*atan(x^2*sqrt(c)/sqrt(a))/(a^(3/2)*sqrt(c)) --R --R --R 2 +-+ --R 4 x \|c 2 +-+ +-+ --R (c x + a)atan(------) + x \|a \|c --R +-+ --R \|a --R (2) ----------------------------------- --R 4 2 +-+ +-+ --R (4a c x + 4a )\|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1092 --S 1093 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R 4 +-----+ 2 --R 4 (c x - a)\|- a c + 2a c x 2 +-----+ --R (c x + a)log(----------------------------) + 2x \|- a c --R 4 --R c x + a --R [---------------------------------------------------------, --R 4 2 +-----+ --R (8a c x + 8a )\|- a c --R 2 +---+ --R 4 x \|a c 2 +---+ --R (c x + a)atan(--------) + x \|a c --R a --R -----------------------------------] --R 4 2 +---+ --R (4a c x + 4a )\|a c --R Type: Union(List(Expression(Integer)),...) --E 1093 --S 1094 of 1309 m0a:=a0.1-r0 --R --R --R 4 +-----+ 2 2 +-+ --R +-+ +-+ (c x - a)\|- a c + 2a c x +-----+ x \|c --R \|a \|c log(----------------------------) - 2\|- a c atan(------) --R 4 +-+ --R c x + a \|a --R (4) ----------------------------------------------------------------- --R +-----+ +-+ +-+ --R 8a\|- a c \|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1094 --S 1095 of 1309 d0a:=D(m0a,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1095 --S 1096 of 1309 m0b:=a0.2-r0 --R --R --R 2 +---+ 2 +-+ --R +-+ +-+ x \|a c +---+ x \|c --R \|a \|c atan(--------) - \|a c atan(------) --R a +-+ --R \|a --R (6) ------------------------------------------- --R +-+ +-+ +---+ --R 4a\|a \|c \|a c --R Type: Expression(Integer) --E 1096 --S 1097 of 1309 d0b:=D(m0b,x) --R --R --R (7) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1097 )clear all --S 1098 of 1309 t0:=1/(a+c*x^4)^2 --R --R --R 1 --R (1) ------------------- --R 2 8 4 2 --R c x + 2a c x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1098 --S 1099 of 1309 r0:=1/4*x/(a*(a+c*x^4))-3/8*atan(1-c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/_ (a^(7/4)*c^(1/4)*sqrt(2))+3/8*atan(1+c^(1/4)*x*_ sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(7/4)*c^(1/4)*sqrt(2))-_ 3/16*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(7/4)*c^(1/4)*sqrt(2))+_ 3/16*log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+x^2*sqrt(c))/_ (a^(7/4)*c^(1/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 4 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (3c x + 3a)log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R 4 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (- 3c x - 3a)log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ +-+4+-+ 4+-+ --R 4 x\|2 \|c + \|a 4 x\|2 \|c - \|a --R (6c x + 6a)atan(----------------) + (6c x + 6a)atan(----------------) --R 4+-+ 4+-+ --R \|a \|a --R + --R +-+4+-+3 4+-+ --R 4x\|2 \|a \|c --R / --R 4 2 +-+4+-+3 4+-+ --R (16a c x + 16a )\|2 \|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1099 --S 1100 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +----------+ +----------+ --R 4 2 | 1 2 | 1 --R (12a c x + 12a ) |- -------- log(16a |- -------- + x) --R 4| 7 4| 7 --R \| 65536a c \| 65536a c --R + --R +----------+ +----------+ --R 4 2 | 1 2 | 1 --R (- 12a c x - 12a ) |- -------- log(- 16a |- -------- + x) --R 4| 7 4| 7 --R \| 65536a c \| 65536a c --R + --R +----------+ --R 2 | 1 --R 16a |- -------- --R +----------+ 4| 7 --R 4 2 | 1 \| 65536a c --R (- 24a c x - 24a ) |- -------- atan(----------------- + x --R 4| 7 x --R \| 65536a c --R / --R 4 2 --R 4a c x + 4a --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 1100 --S 1101 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R - 3log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +----------+ +----------+ --R +-+ | 1 4+-+3 4+-+ 2 | 1 --R 48a\|2 |- -------- \|a \|c log(16a |- -------- + x) --R 4| 7 4| 7 --R \| 65536a c \| 65536a c --R + --R +----------+ +----------+ --R +-+ | 1 4+-+3 4+-+ 2 | 1 --R - 48a\|2 |- -------- \|a \|c log(- 16a |- -------- + x) --R 4| 7 4| 7 --R \| 65536a c \| 65536a c --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ x\|2 \|c + \|a --R 3log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) - 6atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R x\|2 \|c - \|a --R - 6atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +----------+ --R 2 | 1 --R 16a |- -------- --R +----------+ 4| 7 --R +-+ | 1 4+-+3 4+-+ \| 65536a c --R - 96a\|2 |- -------- \|a \|c atan(-----------------) --R 4| 7 x --R \| 65536a c --R / --R +-+4+-+3 4+-+ --R 16a\|2 \|a \|c --R Type: Expression(Integer) --E 1101 --S 1102 of 1309 d0:=D(normalize(m0),x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1102 )clear all --S 1103 of 1309 t0:=1/(x*(a+c*x^4)^2) --R --R --R 1 --R (1) -------------------- --R 2 9 5 2 --R c x + 2a c x + a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1103 --S 1104 of 1309 r0:=1/4/(a*(a+c*x^4))+log(x)/a^2-1/4*log(a+c*x^4)/a^2 --R --R --R 4 4 4 --R (- c x - a)log(c x + a) + (4c x + 4a)log(x) + a --R (2) -------------------------------------------------- --R 2 4 3 --R 4a c x + 4a --R Type: Expression(Integer) --E 1104 --S 1105 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R 4 4 4 --R (- c x - a)log(c x + a) + (4c x + 4a)log(x) + a --R (3) -------------------------------------------------- --R 2 4 3 --R 4a c x + 4a --R Type: Union(Expression(Integer),...) --E 1105 --S 1106 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1106 --S 1107 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1107 )clear all --S 1108 of 1309 t0:=1/(x^2*(a+c*x^4)^2) --R --R --R 1 --R (1) ---------------------- --R 2 10 6 2 2 --R c x + 2a c x + a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1108 --S 1109 of 1309 r0:=(-5/4)/(a^2*x)+1/4/(a*x*(a+c*x^4))+5/8*c^(1/4)*atan(1-c^(1/4)*x*_ sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(9/4)*sqrt(2))-5/8*c^(1/4)*_ atan(1+c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(9/4)*sqrt(2))-_ 5/16*c^(1/4)*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+_ sqrt(a)+x^2*sqrt(c))/(a^(9/4)*sqrt(2))+5/16*c^(1/4)*_ log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+x^2*sqrt(c))/(a^(9/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 5 4+-+ +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (5c x + 5a x)\|c log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a 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125c x --R \| 65536a --R / --R 2 +-+4+-+ --R 16a \|2 \|a --R Type: Expression(Integer) --E 1111 --S 1112 of 1309 d0:=D(normalize(m0),x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1112 )clear all --S 1113 of 1309 t0:=1/(x^3*(a+c*x^4)^2) --R --R --R 1 --R (1) ---------------------- --R 2 11 7 2 3 --R c x + 2a c x + a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1113 --S 1114 of 1309 r0:=(-3/4)/(a^2*x^2)+1/4/(a*x^2*(a+c*x^4))-_ 3/4*atan(x^2*sqrt(c)/sqrt(a))*sqrt(c)/a^(5/2) --R --R --R 2 +-+ --R 6 2 +-+ x \|c 4 +-+ --R (- 3c x - 3a x )\|c atan(------) + (- 3c x - 2a)\|a --R +-+ --R \|a --R (2) ------------------------------------------------------ --R 2 6 3 2 +-+ --R (4a c x + 4a x )\|a --R Type: Expression(Integer) --E 1114 --S 1115 of 1309 a0:=integrate(t0,x) --R --R --R (3) --R +---+ --R 2 | c 4 --R +---+ - 2a x |- - + c x - a --R 6 2 | c \| a 4 --R (3c x + 3a x ) |- - log(------------------------) - 6c x - 4a --R \| a 4 --R c x + a --R 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Union(Expression(Integer),...) --E 1122 --S 1123 of 1309 m0:=a0-r0 --R --R --R (4) --R 4+-+3 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R 7\|c log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +----------+ +----------+ --R | 3 | 3 --R 2 +-+ | 2401c 4+-+3 3 | 2401c --R - 16a \|2 |- -------- \|a log(16a |- -------- + 7c x) --R 4| 11 4| 11 --R \| 65536a \| 65536a --R + --R +----------+ +----------+ --R | 3 | 3 --R 2 +-+ | 2401c 4+-+3 3 | 2401c --R 16a \|2 |- -------- \|a log(- 16a |- -------- + 7c x) --R 4| 11 4| 11 --R \| 65536a \| 65536a --R + --R 4+-+3 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R - 7\|c log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ +-+4+-+ 4+-+ --R 4+-+3 x\|2 \|c + \|a 4+-+3 x\|2 \|c - \|a --R 14\|c atan(----------------) + 14\|c atan(----------------) --R 4+-+ 4+-+ --R \|a \|a --R + --R +----------+ --R | 3 --R 3 | 2401c --R +----------+ 16a |- -------- --R | 3 4| 11 --R 2 +-+ | 2401c 4+-+3 \| 65536a --R 32a \|2 |- -------- \|a atan(-----------------) --R 4| 11 7c x --R \| 65536a --R / --R 2 +-+4+-+3 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Expression(Integer) --E 1128 --S 1129 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1129 )clear all --S 1130 of 1309 t0:=x^10/(a+c*x^4)^3 --R --R --R 10 --R x --R (1) ------------------------------ --R 3 12 2 8 2 4 3 --R c x + 3a c x + 3a c x + a --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1130 --S 1131 of 1309 r0:=-1/8*x^7/(c*(a+c*x^4)^2)-7/32*x^3/(c^2*(a+c*x^4))-_ 21/64*atan(1-c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(1/4)*c^(11/4)*_ sqrt(2))+21/64*atan(1+c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(1/4)*_ c^(11/4)*sqrt(2))+21/128*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+_ sqrt(a)+x^2*sqrt(c))/(a^(1/4)*c^(11/4)*sqrt(2))-21/128*_ log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(1/4)*c^(11/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 2 8 4 2 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (- 21c x - 42a c x - 21a )log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R 2 8 4 2 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (21c x + 42a c x + 21a )log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 8 4 2 x\|2 \|c + \|a --R (42c x + 84a c x + 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Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1186 --S 1187 of 1309 r0:=1/8*x/(a*(a+c*x^4)^2)+7/32*x/(a^2*(a+c*x^4))-_ 21/64*atan(1-c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(11/4)*c^(1/4)*sqrt(2))+_ 21/64*atan(1+c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(11/4)*c^(1/4)*sqrt(2))-_ 21/128*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(11/4)*c^(1/4)*sqrt(2))+_ 21/128*log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(11/4)*c^(1/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 2 8 4 2 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (21c x + 42a c x + 21a )log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R 2 8 4 2 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (- 21c x - 42a c x - 21a )log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 8 4 2 x\|2 \|c + \|a --R (42c x + 84a c x + 42a )atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 8 4 2 x\|2 \|c - \|a --R (42c x + 84a c x + 42a )atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R 5 +-+4+-+3 4+-+ --R (28c x + 44a x)\|2 \|a \|c --R / --R 2 2 8 3 4 4 +-+4+-+3 4+-+ --R (128a c x + 256a c x + 128a 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Expression(Integer) --E 1194 --S 1195 of 1309 d0:=D(m0,x) --R --R --R (5) 0 --R Type: Expression(Integer) --E 1195 )clear all --S 1196 of 1309 t0:=1/(x^2*(a+c*x^4)^3) --R --R --R 1 --R (1) --------------------------------- --R 3 14 2 10 2 6 3 2 --R c x + 3a c x + 3a c x + a x --R Type: Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1196 --S 1197 of 1309 r0:=(-45/32)/(a^3*x)+1/8/(a*x*(a+c*x^4)^2)+9/32/(a^2*x*(a+c*x^4))+_ 45/64*c^(1/4)*atan(1-c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(13/4)*sqrt(2))-_ 45/64*c^(1/4)*atan(1+c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(13/4)*sqrt(2))-_ 45/128*c^(1/4)*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(13/4)*sqrt(2))+_ 45/128*c^(1/4)*log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(13/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 2 9 5 2 4+-+ +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (45c x + 90a c x + 45a x)\|c log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R 2 9 5 2 4+-+ +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (- 45c x - 90a c x - 45a x)\|c log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 9 5 2 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Fraction(Polynomial(Integer)) --E 1208 --S 1209 of 1309 r0:=(-77/96)/(a^3*x^3)+1/8/(a*x^3*(a+c*x^4)^2)+_ 11/32/(a^2*x^3*(a+c*x^4))+77/64*c^(3/4)*atan(1-c^(1/4)*_ x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(15/4)*sqrt(2))-77/64*c^(3/4)*_ atan(1+c^(1/4)*x*sqrt(2)/a^(1/4))/(a^(15/4)*sqrt(2))+_ 77/128*c^(3/4)*log(-a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+_ x^2*sqrt(c))/(a^(15/4)*sqrt(2))-77/128*c^(3/4)*_ log(a^(1/4)*c^(1/4)*x*sqrt(2)+sqrt(a)+x^2*sqrt(c))/(a^(15/4)*sqrt(2)) --R --R --R (2) --R 2 11 7 2 3 4+-+3 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (- 231c x - 462a c x - 231a x )\|c log(x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R 2 11 7 2 3 4+-+3 +-+4+-+4+-+ 2 +-+ +-+ --R (231c x + 462a c x + 231a x )\|c log(- x\|2 \|a \|c + x \|c + \|a ) --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 11 7 2 3 4+-+3 x\|2 \|c + \|a --R (- 462c x - 924a c x - 462a x )\|c atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R +-+4+-+ 4+-+ --R 2 11 7 2 3 4+-+3 x\|2 \|c - \|a --R (- 462c x - 924a c x - 462a x )\|c atan(----------------) --R 4+-+ --R \|a --R + --R 2 8 4 2 +-+4+-+3 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